sym. Matrix und lineare Gruppe

31.05.2010, 19:06	excel-niete10	Auf diesen Beitrag antworten »
sym. Matrix und lineare Gruppe Hi, diese Aufgabe habe ich gestellt bekommen: a) Ist $\begin{eqnarray} A \in Sym(\mathbb R^n) so ist A² \in Sym (\mathbb R^n) \end{eqnarray}$ b) Ist $\begin{eqnarray} A \in GL(\mathbb R^n) so ist A^T \in GL(\mathbb R^n) \end{eqnarray}$ c) Ist A^7 = $\begin{eqnarray} E_{n} so ist A \in GL(\mathbb R^n) \end{eqnarray}$ Ich habe folgende Ideen: zu a) eine sym. Matrix ist immer quadratisch --> A=(a) --> (a)(a)= (a²)=A² --> Multiplikation von quadratischen Matrizen ist wieder eine quadratische Matrix --> $\begin{eqnarray} A² \in Sym(\mathbb R^n) \end{eqnarray}$ zu b) $\begin{eqnarray} A \cdot A^{-1} = E \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} A^{T} \cdot (A^{T})^{-1} = E \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} A^{T} \in GL(\mathbb R^n) \end{eqnarray}$ zu c) $\begin{eqnarray} A^{7} = E_{n} \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} A = A^{-1} \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} A \cdot A^{-1}=E \end{eqnarray*}$ lieg ich mit meinen Ideen richtig? wie kann ich sie besser ausführen?
31.05.2010, 19:35	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
a) ist nicht so einfach, da musst du wohl mit den Elementen von A² argumentieren b) besser ist zu nutzen, dass $\begin{eqnarray} (AB)^T=B^TA^T \end{eqnarray}$ gilt. c) nein, aber es ist $\begin{eqnarray} A^7=AA^6=E_n \end{eqnarray}$
31.05.2010, 20:02	Quadratzahl-Jan	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu a): Dies ist auch sehr einfach, du musst nicht die einzelnen Einträge berechnen. Bekommst du auch noch hin
02.06.2010, 11:07	excel-niete10	Auf diesen Beitrag antworten »
ok danke! a und b konnte ich jetzt lösen! aber zur c versteh ich das mit dem A^7 = AA^6= E_{n} nicht so wirklich!
02.06.2010, 13:58	chris0806	Auf diesen Beitrag antworten »
was lässt sich denn über $\begin{eqnarray} A^6 \end{eqnarray}$ im Bezug zu A sagen?
02.06.2010, 18:27	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} AB=E \end{eqnarray}$ heißt $\begin{eqnarray} B=A^{-1} \end{eqnarray}$ das Inverse von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . Jetzt klar ?
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