Beweis in komplexen Zahlen

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Zidane Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis in komplexen Zahlen
Hallo,
ich soll folgende Aufgabe lösen, habe aber keinen Schimmer wie:

Zeigen Sie:
Ist \ {0},*, so hat die Gleichung

n verschiedene Lösungen in C.

Was der Stern am IN bedeutet, weiß ich nicht.

Wer kann mir helfen?
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Der Stern bedeutet wohl "ohne Null".

Kannst du komplexe Zahlen in Polarkoordinaten potenzieren? Also für w = r*(cos(phi) + i*sin(phi) = r*exp(i*phi) ausrechnen, wieviel w^n ist?
Zidane Auf diesen Beitrag antworten »
...
Ich selbst hab es leider nicht ganz verstanden, weiß aber dass wir sowas angesprochen hatten
Hilfe
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Um da besser hineinzukommen, versuch doch einmal, alle drei Nullstellen der Gleichung z³=1 zu bestimmen.

Tips:
1. die 1 auf die andere Seite bringen
2. 1 ist auf jeden Fall Lösung, also kann man den Linearfaktor z-1 abspalten
3. es verbleibt ein quadratischer Faktor, dessen Nullstellen du mit der Mitternachtsformel bestimmen kannst.

Zeichne die Nullstellen in der Gaußschen Zahlenebene ein und verbinde sie zu einem Dreieck (Vorschlag: LE = 4 cm). Wie liegen die Lösungen? Verbinde die Nullstellen auch mit dem Ursprung.
Zidane Auf diesen Beitrag antworten »
?
Puuh ich glaub da muss ich wohl passen, Mitternachtsformel ist mir nicht bekannt.

Abgesehen davon, sollten wir die 3 Lösungen für n=3 und z=8i skizzieren.
Das hab ich ja, aber mit dem Beweis komm ich nicht hin
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Mitternachtsformel = Lösungsformel für quadratische Gleichungen
 
 
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ?
Mitternachtsformel ist auch bekannt als abc-Formel und sie ist dazu da, um quadratische Gleichungen zu lösen. Gleiches kann man mit der pq-Formle machen (für normierte quadr. Gleichungen). Sind dir diese Begriffe geläufiger?

Gruß vom Ben
Zidane Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ?
pq-Formel kenn ich.

Also verallgemeiner ich z^n-w=0

Tja ... dann hörts auf, kann ich die darauf anwenden?
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Im allgemein kannst du auf diese Gleichung nicht die Lösungsformel für quadratische Gleichungen anwenden. Die war ja auch für den Spezialfall gedacht, dass die Gleichung
z^3 - 1 = 0
zu untersuchen ist. Bei der kannst du nämlich eine Nullstelle so bestimmen, und dann die entstehende quadratische Gleichung lösen. Das hat Leopold geschrieben.

Um nun die Gleichung z^n = w zu lösen, ist es sehr hilfreich, wenn du dich mit Polarkoordinaten vertraut machst.

Was meinst du mit
Zitat:
Abgesehen davon, sollten wir die 3 Lösungen für n=3 und z=8i skizzieren.
Das hab ich ja, aber mit dem Beweis komm ich nicht hin


Was hast du ja? Die drei Lösungen?
Zidane Auf diesen Beitrag antworten »
?
Ja die drei Lösungen für diesen Fall.

Hilft mir das weiter bei dem Beweis?
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Wie bist du auf diese drei Lösungen gekommen?
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