Extremwerte (Hesse Matrix)

01.06.2010, 12:32	scream_mw	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwerte (Hesse Matrix) Es geht um folgende Aufgabe: Untersuchen Sie die Funktion $\begin{eqnarray} f(x,y)=x^{2}+xy+y^{4} \end{eqnarray}$ auf Extremwerte und bestimmen Sie mit Hilfe der Hesse Matrix deren Art. Mein Ansatz: $\begin{eqnarray} J_{f}=\begin{pmatrix} (2x+y) & (4y^{3}+x)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} H_{f}=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 12y² \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn ich nun die Eigenwerte der Hesse Matrix berechnen will, um die Art der Extrema zu bestimmen, erhalte ich diese in Abhänigkeit von y. $\begin{eqnarray} \Rightarrow \lambda = 6y²+1\pm \sqrt{36y^{4}-12y²+2 }= 6y²+1\pm \sqrt{(6y^{2}-2)²-2 } \end{eqnarray}$ Muss ich jetzt eine Fallunterscheidung für y machen? Bis jetzt hatten wir nur unabhängige Eigenwerte ...
01.06.2010, 12:43	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwerte (Hesse Matrix) Zunächstmal mußt du die möglichen Extremstellen bestimmen. Dies sind die Nullstellen des Gradienten.
01.06.2010, 12:56	scream_mw	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwerte (Hesse Matrix) In der Vorlesung hatten wir bis jetzt magere Beispiele. Aber ich versuche mal deine Hilfestellung umzusetzen: d.h. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2x+y \\ 4y^{3}+x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} <br /> <br /> \Rightarrow x=-\frac{y}{2} \wedge y=\sqrt[3]{-\frac{x}{4} } \end{eqnarray}$ richtig?
01.06.2010, 12:58	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwerte (Hesse Matrix) Weniger als halb. Du hast es mit einem Gleichungssystem von 2 Gleichungen zu tun. Da kann man ganz konkrete Lösungen finden.
01.06.2010, 13:10	scream_mw	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwerte (Hesse Matrix) Ah ok, ich dachte man müsste das Ganze zunächst unabhängig voneinander betrachten ... Dann erhalte ich: $\begin{eqnarray} y=0, x=0; y=\pm \sqrt{1/8}, x=\mp \sqrt{1/32} \end{eqnarray}$ Die Hesse Matrix ist ja nun unabhängig von x. Setze ich jetzt lediglich die Werte für y ein und betrachte die Eigenwerte?
01.06.2010, 13:16	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwerte (Hesse Matrix) Genau.
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01.06.2010, 14:19	scream_mw	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwerte (Hesse Matrix) Woho! Vielen Dank

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