gesucht: Basis von Span(v1,v2,v3,v4) |
| 01.06.2010, 15:08 | Geolin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| gesucht: Basis von Span(v1,v2,v3,v4) Meine Aufgabe ist folgende: Wir betrachten die Vektoren v1=(1/1/7/-1), v2=(1/2/0/4), v3=(1/-4/42/-26), v4=(2/1/21/-7) im Q-Vektorraum Q^4. Geben Sie eine Basis des Unterraumes V = span(v1, v2, v3, v4) an! Meine Ideen: ich bin nicht sicher, aber ist die lösung nicht recht trivial, da ich einfach die kanonische Einheitsbasis angeben kann? sprich: B={(1/0/0/0), (0/1/0/0), (0/0/1/0), (0/0/0/1)} |
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| 01.06.2010, 15:11 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Lösung ist relativ einfach, aber nicht so trivial. Wenn ist, dann wäre die Einheitsbasis eine Lösung, aber hast du überprüft ob ist? |
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| 01.06.2010, 15:18 | Geolin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
steht das nicht in der Aufgabenstellung? "Wir betrachten die Vektoren [...] im Q-Vektorraum Q^4." |
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| 01.06.2010, 15:22 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, du hast 4 Vektoren aus dem , aber woher nimmst du das Recht zu behaupten, dass direkt ist? Bisher hast du nur 4 Vektoren gegeben, diese bilden einen Unterraum , ob aber wirklich gilt weißt du doch noch gar nicht. |
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| 01.06.2010, 15:45 | Geolin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok... stimmt natürlich was du sagst... ist eine basis dann nicht einfach: {v1,v2,v3,v4} ? um das zu beweisen muss ich doch einfach nur die folgenden eigenschaften nachweisen: 1. Jedes Element von V lässt sich als Linearkombination von Vektoren aus B darstellen und diese Darstellung ist eindeutig. 2. B ist ein minimales Erzeugendensystem von V, jeder Vektor aus V lässt sich also als Linearkombination aus B darstellen (V ist Lineare Hülle von B) und diese Eigenschaft gilt nicht mehr, wenn ein Element aus B entfernt wird. 3. B ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V. Wird also ein weiteres Element aus V zu B hinzugefügt, ist die neue Menge nicht mehr linear unabhängig. 4. B ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V. (ist einfach aus wikipedia kopiert, konnte leider nicht zur letzten vorlesung deshalb hoffe ich mal dass das die richtigen eigentschaften einer basis sind 
)1., 2. und 3. sind ja trivial, 4. ist auch nicht schwer. |
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| 01.06.2010, 15:55 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn (4) auch nicht so schwer ist, wieso überprüfst du die 4 Vektoren dann nicht mal auf lineare Unabhängigkeit? Abgesehen davon hast du äquivalente Aussagen gepostet, keine 4 Eigenschaften die es gilt nachzuweisen. Lies am besten mal in deinem Skript nach wie ihr die Basis definiert habt. Edit: Achja, dass (1)-(3) alles trivial ist würde ich auch nicht behaupten. |
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| 01.06.2010, 16:22 | Geolin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
leider gibts kein skript
hier andere (hoffentlich richtige definiton): Eine Teilmenge B eines Vektorraums V heißt Basis, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: 1. B ist Erzeugendensystem von V, also L(B) = V 2. B ist linear unabhängig. 1. ist natürlich erfüllt 2. folgt durch ein bisschen addieren/einsetzen d.h. {v1,v2,v3,v4} ist eine Basis von V:=span(v1,v2,v3,v4) |
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| 01.06.2010, 16:24 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Auf die Gefahr hin mich zu wiederholen:
Was addierst du/setzt du ein, wie kannst du 4 Vektoren auf lineare Unabhängigkeit überprüfen? |
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| 01.06.2010, 16:53 | Geolin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
zu überprüfen: gibt es eine Lösung für a,b,c,d sodass: a*v1+b*v2+c*v3+d*v4=0, abgesehen von a=b=c=d=0 I a+ b+ c+ 2d =0 II a+2b- 4c+ d=0 III 7a+ +42c+21d=0 IV -a+4b -26c - 7d=0 2*II-IV: II' 18c+9d=0 7*II'-III: II'' 126c+42d=0 <=> d=-3c d in II': c=0 c in II'': d=0 c und d in III: a=0 a,c,d in I: b=0 |
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| 01.06.2010, 17:01 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
2*II-IV: II' 18c+9d=0 Das ist falsch. Wo fällt dein a hin? |
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| 01.06.2010, 17:07 | Geolin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ahh habs beim posten vergessen aber hab damit weitergerechnet, deshalb der nächste schritt: 7*II'-III , somit verschwindet das a dann edit: ah moment, ich glaube ich hab es dann später trotzdem nochmal vergessen. Moment... |
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| 01.06.2010, 17:11 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
d in II': c=0 Dann wäre das der nächste Fehler, damit erzeugst du einen Zirkelschluss. Du berechnest dein d mit II' und setzt es wieder in II' ein, das darfst du so nicht machen. Lös das LGS lieber mal komplett auf und bring es auf (strikte) Zeilenstufenform, es sollten 2 Nullzeilen entstehen. |
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| 01.06.2010, 17:24 | Geolin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
eine Nullzeile habe ich jetzt auch schon. Folgt aus der entstehung der nullzeilen nicht schon direkt die lineare abhängigkeit? |
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| 01.06.2010, 17:26 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, dass die linear abhängig sind folgt direkt schon, allerdings kannst du damit allein noch keine Basis bestimmen. Ich muss jetzt gleich weg, falls sich einer berufen fühlt hier weiterzumachen, so möge er dies bitte tun 
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| 01.06.2010, 17:31 | Geolin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
keine sorge ich muss auch gleich los und werde dann wohl erst morgen abend weitermachen. Vielen Dank schonmal für deine Hilfe!! |
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| 03.06.2010, 15:21 | Geolin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok habs hinbekommen
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| 03.06.2010, 18:26 | sakai | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich bin auch bei der selben Aufgabe. Ich habe allerdings nur eine Nullzeile erhalten. Meine zeilenstufenform sieht so aus: 1 1 1 2 0 1 -5 -1 0 0 -280 -56 0 0 0 0 daraus kann ich doch jetzt schliessen das die vektoren Linear abhängig sind. somit bilden v1,v2,v3,v4 keine Basis. Was gibt es denn jetzt noch zu tun ? |
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| 03.06.2010, 18:28 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du die gleichen Vektoren gegeben hast musst du auch 2 Nullzeilen erhalten, du hast dich also irgendwo verrechnet. Und ja, v1, v2, v3, v4 bilden keine Basis von <v1, v2, v3, v4>, du sollst ja genau diese Basis bestimmen. |
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| 03.06.2010, 18:49 | sakai | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mist. Ich fidne meinen Fehler nicht. Ich schreib einfach mal meine matritzen ab. Und ihr könnt mir dann sagen was ich falsch gemacht habe 
1 1 1 2 1 2 -4 1 7 0 42 21 -1 4 -26 -7 1 1 1 2 0 1 -5 -1 7 0 42 21 -1 4 -26 -7 1 1 1 2 0 1 -5 -1 0 -28 -140 -28 -1 4 -26 -7 1 1 1 2 0 1 -5 -1 0 -28 -140 -28 0 5 -25 -5 1 1 1 2 0 1 -5 -1 0 -28 -140 -28 0 0 0 0 1 1 1 2 0 1 5 -1 0 0 -280 -56 0 0 0 0 was ist da falsch``?? Und nochmal zum Ergebnis: Ich habe also keine Lösung ? Weil in der Aufgabe steht ja: "Geben Sie eine Basis des Unterraumes V = span(v1, v2, v3, v4) an!" bin ein wenig verwirrt |
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| 03.06.2010, 23:01 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ohne deine Umformungsschritte kann man nur raten was du gemacht hast 
Trotzdem: Du führst Zeilenumformungen auf den Spaltenvektoren aus, sehe ich das richtig? Dann liegt da dein Fehler. Und was ist denn gerade das Besondere an einer Basis, was ist die Eigenschaft die die Basis so wertvoll macht? Und genau das sollst du machen, eine Basis des Raums angeben, und ist zwar ein Erzeugendensystem von aber eben keine Basis! |
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| 22.12.2011, 17:20 | damianashae | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
bei allen Kombinationen habe ich immer nur max. 2 Vektoren, die untereinander linear unabhängig sind. Kann ich als Basis also zwei frei wählen? Oder muss ich die Basis zB bei v1, v2 um (0,0,0,1) und (0,0,1,0) ergänzen? Aber dann bekomme ich ja eine Basis von Q, statt von V oder? |
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| 22.12.2011, 17:42 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ganz schön alter Thread den du ausgräbst...erstell demnächst lieber einen neuen Thread, gerade wenn sonst ein 1 1/2 Jahre alter und recht langer Thread wieder rausgekramt würde. Ergänzen darfst du natürlich nicht, sonst erhältst du wie du ja selber sagst eine Basis von . Wenn du die Matrix aufgestellt und so viele Nullzeilen wie möglich erzeugt hast, dann bilden die übrigen Vektoren eine Basis von . |
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