Methode der kleinsten Quadrate

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Simbabwe Auf diesen Beitrag antworten »
Methode der kleinsten Quadrate
Hallo allerseits,

ich steh vor einer eigentlich sehr einfachen Aufgabe, leider versteh ich nicht wie ich an die Sache dran gehen soll:

Ich habe folgende Messwerte einer Kugel die 44.12 m fallen gelassen wird, dabei hat man folgende Zeiten t in Sekunden gemessen:
[2.998, 2.993, 3.001, 3.001, 3, 2.999, 2.999, 2.995, 2.998, 3]

So, ich soll jetzt die Gewichtskraft g mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate bestimmen.

Wenn ich das ganze jetzt in einem Graph zeichnen soll, soll ich in die x-Achse die Messungen auftragen, also Messung 1, 2 ... 10 und auf die y-Achse die dazugehörigen Ergebnisse?

Wie besimme ich nun g?

g = \frac{2h}{t^2}

Kann mir jemand einen Tipp geben? Es muss alles von Hand gerechnet werden können.

Grüße,
Simbabwe
Simbabwe Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich bin jetzt nach kurzem Überlegen auf die Formel gekommen:

, wobei ist und der ite Messwert ist.

Nun wie Löse ich sowas? Tipps?

Vielen Dank soweit!
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

So, wie man halt das Minimum von Funktionen sucht: Ableitung bilden und gleich Null setzen.
Simbabwe Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das habe ich bereits getan, leider kommt da nichts viel versprechendes dabei raus. Vielleicht findet ihr einen Fehler:










Wie setzte ich nun hier an? Natürlich kann ich einfach mal Werte einsetzen, aber das ist nicht sonderlich viel versprechend.

Grüße,
Simbabwe
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist soweit alles richtig! Freude

Den Faktor 2 kannst du offensichtlich ignorieren (Gleichung durch 2 teilen). Jetzt zerlege doch mal die Summe in zwei Summen.
Simbabwe Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, kann ich das so machen:













Stimmt das soweit?
 
 
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Völlig richtig! Freude

Bei einem eindimensionalen Problem ist der nach der Methode der kleinsten Quadrate beste Schätzwert der Mittelwert der Messungen.
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche die ganze Zeit herauszufinden, unter welchem Aspekt ihr die Aufgabe bekommen habt!?
Normalerweise ist dies der freie Fall, und zählt zur Dynamik.
Es ist auch nicht die "Gewichtskraft" die gesucht wird, sondern die Erdbeschleunigung.
Diese ist zwar ortsabhängig, aber man geht wohl von den Messwerten an einem Ort aus, wo Temperaturunterschiede und Wind eine Rolle spielen.
Alle Werte liegen um 9,81 m/s² (mittl. g).
Dafür gibt es die allgem. Beschleunigungsformel a=g=dv/dt = v²/2ds = 2ds/dt²
für v0=0 mit s=Weg, t=Zeit, v0=Anfangsgeschw.
das d steht für Delta also Unterschied.
Für deinen Fall brauchst du das Delta jetzt nicht.

Den freien Fall findest du hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Freier_Fall

Die Wegformel lautet schlicht (ohne Reibung, Luftwiderst. etc.) s=1/2gt²

Alles Gute.

LGR
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, dann hat sich das für mich erledigt.Wink
Simbabwe Auf diesen Beitrag antworten »

So, jetzt geht es mit dem zweiten Teil weiter, leider verstehe ich da die Aufgabenstellung nicht ganz:

Gesucht ist eine Gerade


mit , deren y-Werte die kleinsten Quadratsummenabstand von den vorgegeben Daten an den entsprechenden Abzissen

Was meint der Aufgabensteller mit den zweiten Teil?
Simbabwe Auf diesen Beitrag antworten »

Meint er vielleicht damit, dass ich die Punkte:

(0,1), (3,2), (4,6) und (7,4) habe und ich die angegeben Gerade finden muss?

Ich dachte nämlich die ganze Zeit, dass ich das mit der ersten Aufgabe kombinieren müsste?!?!

Grüße,
simbabwe
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Offenbar sollst du die Methode der kleinsten Quadrate Schritt für Schritt erlernen. Im vorigen Problem hattest du eine anzupassende Größe, die du x genannt hast. Jetzt hast du 2 anzupassende Größen, die und heißen.

Das prinzipielle Vorgehen ist völlig identisch. Du hast gemessene Zahlenpaare mit i = 1 bis n. In deinem Beispiel ist n = 4. Zu jedem gemessenen y-Wert gehört ein berechneter y-Wert . Und jetzt sind und so zu bestimmen, dass



minimal wird. Leite also diese Summe nach und ab, setze die Ableitungen = Null und löse das sich ergebende lineare Gleichungssystem.

Vielleicht erleichtert es dir die Arbeit, wenn du mal in der Wiki nach Methode der kleinsten Quadrate schaust.
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