Holomorphe Abbildung in obere Halbebene

01.06.2010, 16:53	LowDepth	Auf diesen Beitrag antworten »
Holomorphe Abbildung in obere Halbebene Hallo, ich soll zeigen, dass jede holomorphe Abbildung von $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ in die obere Halbebene $\begin{eqnarray} \mathbb {H} \lbrace z \in \mathbb{C} \| Im(z) >0 \rbrace \end{eqnarray}$ konstant sein muss. Gedacht habe ich mir, dass sich solche Abbildungen ( $\begin{eqnarray} z=u+iv \end{eqnarray}$ ) schreiben lassen als: $\begin{eqnarray} f: z \longmapsto u + i \|v\| \end{eqnarray}$ . Wenn es sich um holomorphe Abbildungen handeln soll, dann müssen die Cauchy-Riemann-DGLn erfüllt sein und ich greife mir z. B. heraus: $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial x}v = -\frac{\partial}{\partial y}u \end{eqnarray}$ und wegen meiner Abbildung f sollte dies nun lauten: $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial x}\|\pm v\| = -\frac{\partial}{\partial y}u \end{eqnarray}$ . Meine Idee war nun, dass die letzte Gleichung auf einen Widerspruch führt, weil $\begin{eqnarray} u(x,y)\partial x + \|\pm v\| \partial y = 0 \end{eqnarray}$ sein muss. Das v kann also keine Vorzeichenwechsel von u mitmachen. Deswegen kann das nur für konstante $\begin{eqnarray} u \partial x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v \partial y \end{eqnarray}$ gelten und f muss konstant sein. Kann man so argumentieren, oder ist da ein Fehler drin? Gibts einfachere Beweisführungen?
01.06.2010, 18:32	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Öhm, deine Argumentation verschliesst sich mir total. Ich hätte einen anderen Vorschlag. Betrachte doch mal $\begin{eqnarray} g(z) := f(z) + i \end{eqnarray}$ Was kannst du über den Imaginärteil von g aussagen? Und wie stehts mit der Holomorphie und was fällt dir im Zusammenhang mit \|g\| auf?
01.06.2010, 19:25	LowDepth	Auf diesen Beitrag antworten »
Also der Imaginärteil ist Im{ f(z)} + 1. Mir fällt diesbezüglich nichts auf... Habe ich mich zu komisch ausgedrückt? Meine Abbildung f produziert doch genau die gesuchten komplexen Zahlen mit positivem Imaginärteil. Und weil sie holomorph gefordert wird, muss sie die CR DGLn erfüllen. Der Imaginär-/Realteil sind ja beide Funktionen von x und y. Wenn also die CR Dgln erfüllt sein sollen und v keine Vorzeichenwechsel von u mitmachen kann, dann muss es wohl konstant sein.
01.06.2010, 20:29	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Das (bzw. ein) Problem ist, dass z.B. die partiellen Ableitungen von v schon negativ sein könnten, obwohl v positiv ist. Ausserdem könnten ja beide Teile einfach durchwegs positiv sein, das verbietet denen im Prinzip doch keiner. Nur mal so nebenbei noch: Wenn man zeigen soll, das eine auf $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ holomorphe Funktion konstant ist, läuft das meist auf den Satz von Liouville hinaus.

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