zeigen das ein stochastischer Prozess i.i.d. ist.

01.06.2010, 17:18	Koarl-Heinz-81	Auf diesen Beitrag antworten »
zeigen das ein stochastischer Prozess i.i.d. ist. Meine Frage: Wir beobachten einen von zwei stochastischen Prozeßen, allerdings wissen wir nicht welchen. Sei $\begin{eqnarray} (X_{1i})_{i\in\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ ein Bernoulli-Prozeß mit Parameter $\begin{eqnarray} p1 \end{eqnarray}$ , d.h. die Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} X_{10},X_{11},X_{12}, . . . \end{eqnarray}$ sind unabhängig und es gilt $\begin{eqnarray} P[X_{1i} = 1] = p1 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} P[X_{1i} = 0] = 1-p1 \end{eqnarray}$ . Ebenso sei $\begin{eqnarray} (X_{2i})_{i\in\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ ein Bernoulli-Prozeß mit Parameter $\begin{eqnarray} p2 \end{eqnarray}$ . Ferner sei $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ eine (von den vorher definierten Zufallsvariablen unabhängige) Zufallsvariable mit $\begin{eqnarray} P[\alpha = 1] = P[\alpha = 2] = 1/2 \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} (Y_{i})_{i\in\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ der stochastische Prozeß, welcher gegeben ist mit $\begin{eqnarray} (Y_{i})=X_{\alpha i} \end{eqnarray}$ . Ist $\begin{eqnarray} (Y_{i})_{i\in\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ ein i.i.d. Prozeß? Meine Ideen: Jetzt hab ich dazu schon eine Lösung gefunden: Wenn $\begin{eqnarray} \{Y_{i}\|\alpha\} \end{eqnarray}$ Sequenz ist i.i.d. dann haben wir $\begin{eqnarray} P\{Y_{i},Y_{j}\|\alpha\}=P\{Y_{i}\|\alpha\}P\{Y_{j}\|\alpha\} \end{eqnarray}$ daher $\begin{eqnarray} P\{Y_{i},Y_{j}\}=P\{Y_{i},Y_{j}\|\alpha\}P\{\alpha\}=P\{Y_{i}\|\alpha\}P\{Y_{j}\|\alpha\}P\{\alpha\}=\frac{P\{Y_{i}\}P\{Y_{j}\}}{P\{\alpha\}} \neq P\{Y_{i}\}P\{Y_{j}\} \end{eqnarray}$ allerdings verstehe ich den Schritt von $\begin{eqnarray} P\{Y_{i}\|\alpha\}P\{Y_{j}\|\alpha\}P\{\alpha\} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \frac{P\{Y_{i}\}P\{Y_{j}\}}{P\{\alpha\}} \end{eqnarray}$ nicht. Kann mir das bitte jemand erklären.
01.06.2010, 18:12	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zeigen das ein stochastischer Prozess i.i.d. ist. Die ganze Zeile ist nur dann zu verstehen, wenn du dich intensiv mit dieser Symbolik $\begin{eqnarray} P\{Y_{i}\|\alpha\} \end{eqnarray}$ vertraut machst. Anscheinend meint man damit hier nicht nur bedingte Wahrscheinlichkeiten als Werte, sondern das kennzeichnet das ganze Maß. Mir ist die ganze Schreibweise so aus dem Buch, wo du das her hast, ziemlich suspekt, und bedarf gerade für ungeübte Studenten noch einer Menge Erläuterung.
01.06.2010, 19:37	sagorius	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zeigen das ein stochastischer Prozess i.i.d. ist. Wenn ich die Regel von Bayes: $\begin{eqnarray} P(A\|B)=\frac{P(B\|A)P(A)}{P(B)} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} P(Y_{i}\|\alpha)P(Y_{j}\|\alpha)P(\alpha) \end{eqnarray}$ anwende komm ich auf $\begin{eqnarray} \frac{P(\alpha\|Y_{i})P(Y_{i})P(\alpha\|Y_{j})P(Y_{j})P(\alpha)}{P(\alpha)P(\alpha)} \end{eqnarray}$ wenn man das kürzt steht $\begin{eqnarray} \frac{P(\alpha\|Y_{i})P(Y_{i})P(\alpha\|Y_{j})P(Y_{j})}{P(\alpha)} \end{eqnarray}$ kann das sein das $\begin{eqnarray} P(\alpha\|Y_{i}) = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P(\alpha\|Y_{j}) = 1 \end{eqnarray}$ sind? Anmerkung: ich bin Koarl-Heinz-81
01.06.2010, 19:44	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich rede eigentlich von was anderem. Ausführlich, mit gewöhnlichen (normalen und bedingten) Wahrscheinlichkeiten würde ich diese Zeile eher so schreiben $\begin{eqnarray} P(Y_i=u,Y_j=v) = \sum_{k=1}^2 P(Y_i=u,Y_j=v \bigm\| \alpha=k)\cdot P(\alpha=k) = \sum_{k=1}^2 P(Y_i=u \bigm\| \alpha=k) \cdot P(Y_j=v \bigm\| \alpha=k) \cdot P(\alpha=k) = \sum_{k=1}^2 \frac{P(Y_i=u,\alpha=k) \cdot P(Y_j=v,\alpha=k)}{P(\alpha=k)} \end{eqnarray}$ . Bis zum vorletzten Term geht das noch d'accord mit $\begin{eqnarray} P\{Y_{i},Y_{j}\}=P\{Y_{i},Y_{j}\|\alpha\}P\{\alpha\}=P\{Y_{i}\|\alpha\}P\{Y_{j}\|\alpha\}P\{\alpha\} \end{eqnarray}$ , wenn man in letzterem so eine Art Einsteinsche Summenkonvention benutzt (hier für $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ). Aber der nächste Term $\begin{eqnarray} \frac{P\{Y_{i}\}P\{Y_{j}\}}{P\{\alpha\}} \end{eqnarray}$ ist auch damit nicht mehr erklärbar. Also: Was sagt deine Quelle zu dieser Symbolik, die muss doch dort erklärt sein???

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