lineare Abb. injektiv,surjektiv, bijektiv?

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Oman Auf diesen Beitrag antworten »
lineare Abb. injektiv,surjektiv, bijektiv?
Hallo,
ich verstehe hier eine Aufgabe überhaupt nicht. Und zwar soll geprüft werdern, ob folgende Abbildung injektiv/surjektiv o. bijektiv ist. Wie mach ich das?

Über jede Art an Stütze wäre ich dankbar! Wink
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst musst du natürlich wissen, was injektiv, surjektiv und bijektiv heisst. Weisst du es?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lineare Abb. injektiv,surjektiv, bijektiv?
Hier reicht eigentlich bloßes Hinsehen schon aus, um zu sagen, ob die Abbildung injektiv, surjektiv oder gar bijektiv ist. Sind dir die Definitionen denn klar?

Die Abbildung ist ja injektiv, wenn zwei unterschiedliche Elemente aus dem unter der Abbildung auch immer auf zwei unterschiedliche Bilder abgebildet werden. Ist das hier der Fall?

Und für die Surjektivität musst du eben schauen, ob es zu jedem Element aus der Bildmenge (also dem ) ein Urbild im gibt. Ist das der Fall? Was sind deine eigenen Überlegungen bisher?

Edit: Sorry, zu spät.
Oman Auf diesen Beitrag antworten »

ah...ich muss leider gestehen, dass das verständnisproblem schon bei den Begriffen anfängt. Ich dachte injektiv bedeutet einfach, dass alle Elemente von V in W abgebildet werden. Somit ist der Kern der linearen Abbildung 0.
Surjektiv: Jedem f(x) wird genau ein x zugeordnet. Aber ganz so "einfach" scheint es dann doch nicht zu sein.
Und wie kann man das mit "bloßem Hinsehen" erfassen?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lineare Abb. injektiv,surjektiv, bijektiv?
Okay, so kannst du die Aufgabe natürlich nicht lösen. Die Definitionen werdet ihr doch in eurem Skript haben. Ansonsten:

Wikipedia: Injektivität
Wikipedia: Surjektivität
Wikipedia: Bijektivität

Wenn dir diese Begriffe erst mal klar sind, dann wird dir auch die Aufgabe nicht mehr schwer fallen.
Oman Auf diesen Beitrag antworten »

okay, ich hab mich jetzt erstmal durch die Artikel durchgearbeitet. De Facto sind mir die Begriffe verständlich, trotdem weiß ich sie hier nicht anzuwenden. verwirrt

Vielleicht ein Tipp?
 
 
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Schaffst du es, für ein beliebiges Bild zwei Urbilder anzugeben? Dann wäre die Abbildung surjektiv.
Oman Auf diesen Beitrag antworten »

z.b..
oder nicht?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Genau! Der Eintrag unten rechts kann beliebig sein, also schon mal surjektiv.

Was ist mit der Injektivität? Bedenke, du hast für ein beliebiges Element des Bildbereiches schon zwei Urbilder (eigentlich sogar unendlich viele) gefunden.
Oman Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt ja, das die Abbildung nicht injektiv ist und somit auch nicht bijektiv.

Danke für den Anstoß Freude
Oman Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn wir schon gerade beim passenden Thema sind, stell ich besser gleich noch mal eine Frage. Kann mir jemand den Sinn dieser Aussage erklären: eine Funktion ist injektiv, wenn Kern(L)=0 ist. Ich versteh den Zusammenhang nicht.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Das gilt aber nur für lineare Funktionen, dann aber sogar als genau-dann-wenn-Aussage.

Was verstehst du daran im Genauen nicht? Es ist eine Eigenschaft, die man beweisen kann. Ganz unanschaulich ist es ja auch nicht.

Dass z.B. der Kern trivial sein muss, wenn die Funktion injektiv ist, folgt sofort aus der Definition der Injektivität. Die Gegenrichtung nutzt dann die Linearität der Funktion.

air
Oman Auf diesen Beitrag antworten »

was ist denn mit Gegenrichtung gemeint?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Eine lineare Funktion ist genau dann injektiv, wenn ihr Kern trivial ist.

Diese Aussage besteht aus zwei Richtungen: Von links nach rechts und von rechts nach links.

Habe mich übrigens geirrt. Auch für die "Hin"-Richtung benötigt man bereits Linearität.

air
Oman Auf diesen Beitrag antworten »

danke Big Laugh
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