Kugel in Kegel Volumen

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Pauler Auf diesen Beitrag antworten »
Kugel in Kegel Volumen
Hallo,

ich bin gerade an der Aufgabe:

Wie groß ist das Volumen desjenigen Teiles der Kugel , der Innerhalb des Zylinders: (a>0)?

Ich habe jetzt für die Grenzen die Gleichungen in Zylinderkoordinaten umgewandelt, und nach den Variablen umgestellt:





Jetzt meine Fragen. Wie komme ich jetzt auf die Grenzen? Bei Z ist es ja noch leicht. da wird wohl eine - und eine + sein. Aber welche ist die obere, und welche die untere? Was ist die 2. grenze für r? Und wie komme ich auf die Grenzen für Phi?

Und in welcher Reihenfolge muss ich dann integrieren?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es genügt, den Fall



zu behandeln und anschließend mit dem Faktor zu strecken (da es sich um das Innere des Zylinders handelt, wurde aus dem Gleichheitszeichen ein Kleinergleich). Der Schnittkörper liegt zu symmetrischen Teilen im I., IV., V. und VIII. Oktanten. Es reicht daher weiter, nur den I. Oktanten zu betrachten und den Volumenwert zu vervierfachen. Daher rührt unten der Faktor .

Mit Zylinderkoordinaten



wird aus den Ungleichungen



Im I. Oktanten gilt und . Für solche gilt auch , so daß die zweite Ungleichung erfüllbar ist. Es empfiehlt sich nun, folgendermaßen zu integrieren:



Zur Kontrolle: Meine Rechnung hat



ergeben.
haffael Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
...

....


woher weißt du hier den bereich für ?
Pauler Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe es jetzt doch noch gelöst bekommen gestern. Allerdings interessiert mich die Methode mit dem Strecken. Wie machst du das genau? Und wie kommst du auf das a^3? Mit der Symmetrie und den Grenzen das leuchtet ein.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Streckung mit Streckzentrum vom Streckfaktor bildet einen Punkt auf den Punkt ab mit



Oder etwas weniger angestrengt: Eine Streckung ist eine maßstabsgetreue Verkleinerung oder Vergrößerung einer Figur. -dimensionale Inhalte nehmen beim Strecken den Faktor auf.
Pauler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das ist klar. Nur hast du geschrieben, das ganze ist um den Faktor a gestreckt. Wie kommt man dann auf a^3?
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ein Würfel die Kantenlänge hat, so besitzt er das Volumen . Wird er mit gestreckt, so sind Würfelkante und Volumen



Oder ganz wissenschaftlich: Die Transformation hat als Funktionaldeterminante

Pauler Auf diesen Beitrag antworten »

logisch...der Körper wird ja in alle 3 Achsen gestreckt. Danke!
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