Wohl einfache voll. Induktionsaufgabe ^^

31.10.2006, 16:40	ReaL	Auf diesen Beitrag antworten »
Wohl einfache voll. Induktionsaufgabe ^^ Hallo! Also ich habe jetzt vor einer Woche angefangen Mathematik (auf Lehramt ) zu studieren und stehe in Analysis bereits vor so einigen Problemen! Prinzipiell bin ich mir bewusst dass die Induktionsaufgaben die ich habe ziemlich banal sein müssten, aber vor allen Dingen die folgende UNgleichung macht mir Probleme: $\begin{eqnarray} 10^n > 6n^2+n \end{eqnarray}$ für n Element aus den natürlichen Zahlen Der Induktionsanfang ist klar und funktioniert soweit mit 1 auch. Also versuche ich das ganze mit A(n+1), woraus dann folgt: $\begin{eqnarray} 10^(n+1) > 6 (n+1)^2 + n + 1 \end{eqnarray}$ Das linke kann ich auch einfach als $\begin{eqnarray} 10^n 10 \end{eqnarray}$ schreiben, sodass ich $\begin{eqnarray} 10^n \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} 6n^2+n \end{eqnarray}$ ersetzen kann. Dann kriege ich raus: $\begin{eqnarray} 60n^2+10n > 6n^2 + 13n +2 \end{eqnarray}$ Dann dachte ich mir ich teile die linke Seite einfach auf in: $\begin{eqnarray} 6n^2+13n^2+2n^2 +39n^2+10n \end{eqnarray}$ und zeige dass $\begin{eqnarray} n^2 \end{eqnarray}$ größer ist als $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray*}$ für n Element aus den natürlichen Zahlen. Also (Tut mir Leid hier geht mir mein Codewissen aus, also schreib ich es als Text) Annahme: Für alle n aus den natürlichen Zahlen gilt und n>1 gilt: n^2>n Bew. durch Negation: Es existiert ein ein n aus den natürlichen Zahlen und n>1, für das gilt: n^2<n einfach auf beiden Seiten durch n geteilt und da steht n ist kleiner gleich 1 Das ist ein Widerspruch zu der Voraussetzung dass n>1 ist, also ist meine Annahme bewiesen. Damit könnte ich zeigen dass die oben die linke Seite größer ist als die rechte, aber ich bin mir nicht sicher ob das jetzt die geforderte Voll. Induktion war, und ib das überhaupt so ganz in Ordnung war mit dem Beweis. Soweit erst mal ^^
31.10.2006, 16:51	Geistermeister	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast einen Fehler gemacht beim Ersetzen von n durch n+1. Es heißt richtig: $\begin{eqnarray} 10^{n}10 = 6(n+1)^{2} + 2 \end{eqnarray*}$ Dann kannst du 10 hoch n durch 6n²+2 ersetzen und danach umformen zu einer quadratischen Gleichung. Dein anderer Beweis wurde richtig gemacht!
31.10.2006, 16:56	ReaL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ich habe die Aufgabe falsch hingeschrieben! Ich wusste ich hab mich irgendwo vertippt ^^ Richtig heißt die Aufgabe natürlich: $\begin{eqnarray} 10^n > 6n^2+n \end{eqnarray}$ Und unten habe ich stumpf kopiert und den selben Fehler drin, ich editier das mal oben edit: Und da ist noch ein Latexfehler drin, den pack ich auch mal raus, oder was ist +^3 ^^
31.10.2006, 17:17	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ist trotzdem noch ein Fehler drin, beim Konstantanteil rechts... Ok, dein Induktionsschluss klappt, wenn du $\begin{eqnarray} 10(6n^2+n) > 6(n+1)^2+(n+1) \end{eqnarray}$ nachweisen kannst. Alles von rechts nach links gebracht ist das äquivalent zu $\begin{eqnarray} 54n^2-3n-7 > 0 \end{eqnarray}$ , und das kannst du mit Hilfe deiner Idee $\begin{eqnarray} n^2 \geq n \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} n^2\geq 1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\geq 1 \end{eqnarray}$ recht schnell erledigen.
31.10.2006, 17:27	ReaL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das denn die wahrscheinlich geforderte Lösung? Oder gibt es einen anderen Ansatz, welchen ihr einem Erstsemesterstudenten zutraut? Das klingt nämlich irgendwie soweit hergeholt ^^

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