Volumen eines Schnittkörpers durch dreifache Integration

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Pauler Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen eines Schnittkörpers durch dreifache Integration
Hallo,

bei der Aufgabe hänge ich im Moment gerade:

Gesucht sind Volumen und Schwerpunkt des homogenen Körpers, der von der Paraboloid Fläche und der Kugelfläche begrenzt wird (z>=0).

Erst einmal die Frage, welche Koordinaten man wählt. Zylinder oder Kugelkoordinaten?

Bei Kugelkoordinaten:





Wie kann ich jetzt p beschreiben?

Bei Zylinderkoordinaten:



Auch hier fehlt r.


Ist der Rest richtig?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Der Bereich wird durch die Ungleichungen



beschrieben. Oder zusammengefaßt:



Von bis wird dieses Minimum von geliefert, von bis von .

Also hast du



zu berechnen. Die inneren Integrale kannst du entweder, auf eine bekannte Formel (!) zurückgreifend, sofort angeben oder mittels Polarkoordinaten berechnen. Und Zylinderkoordinaten sind ja letztlich nichts anderes als ins Dreidimensionale eingebettete Polarkoordinaten.
Und vielleicht geht dir bei dieser Aufgabe auch der Zusammenhang mit den aus der Schule bekannten Rotationskörpern auf. Darauf läuft nämlich die Rechnung hinaus.
Pauler Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm. Das sieht au den ersten Blick recht umständlich aus. Ich werde es mir mal anschauen. Welche bekannte Formel meinst du denn?


Aber kann ich das nciht auch ganz klassisch so lösen:




Und für Z erhalte ich aus der Paraboloid Gleichung: und aus der Kugel: Und mir daraus jetzt die Grenzen für Z bauen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pauler
Hmm. Das sieht au den ersten Blick recht umständlich aus.


Aber nur auf den ersten.

Zitat:
Original von Pauler
Welche bekannte Formel meinst du denn?


Was stellt den dar? Und die inneren Integrale berechnen ja einen Flächeninhalt.

Zitat:
Original von Pauler
Aber kann ich das nciht auch ganz klassisch so lösen:




Das ist leider nicht klassisch, sondern falsch. Es ist hier nicht möglich, das Bereichsintegral in ein einfaches Dreifachintegral zu überführen. Am besten machst du dir zunächst eine Skizze des Körpers. Es reicht, die zweidimensionale Rotationsfläche in der -Ebene zu zeichnen. Durch Rotation der Fläche um die -Achse entsteht der Rotationskörper.
Pauler Auf diesen Beitrag antworten »

Gut. Also das sind ja Kreisgleichungen. Jetzt verstehe ich auch, was da integriert wird. Ich summiere Quasi in den 2 Z Bereichen, alle Flächeninhalte der Kreise auf.

Also


Pauler Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt komme ich auch auf das Ergebnis. Nur weil du sagst, man kann das nciht durch ein einzelnes Integral ausdrücken. In der Musterlösung steht das:



Also scheint es ja doch zu gehen.
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pauler


Also scheint es ja doch zu gehen.


Kleine Korrektur: oder so:

Ja, es geht doch. Ich hatte automatisch die andere Integrationsreihenfolge, die von der Vorstellung als Rotationskörper herrührt, im Sinn. Dort geht es nicht.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Der Einfachheit halber sollte man erst mal überlegen und nicht gleich anfangen zu integrieren.

Es handelt sich um einen zusammengesetzten Körper, der "oben" aus einem Kugelsegment besteht und "unten" aus einem Paraboloid. Die "Klebefläche" beider Teilkörper ergibt sich, wenn man die Formel in die Formel einsetzt. Das ergibt folgende quadratische Gleichung für z

, also

Die "Klebefläche" beider Teilkörper ist also die Ebene z=1.

Beide Teilkörper sind Rotationskörper:
Das Kugelsegment (oberhalb der Ebene z=1) mit dem Radius entsteht dadurch, dass man die Funktion für das Intervall um die z-Achse rotieren lässt. Das Paraboloid (unterhalb der Ebene z=1) entsteht dadurch, dass man die Parabel für das gleiche Intervall um die z-Achse rotieren lässt.

Das Volumen und der Schwerpunkt von Rotationskörper ist nach dem Standardverfahren einzeln leicht zu berechnen. Der Schwerpunkt des gesamten Körpers ist der Schwerpunkt beider Teilschwerpunkte.
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