Diagonalisierbarkeit - Invertierbarkeit |
| 02.06.2010, 16:37 | philochen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Diagonalisierbarkeit - Invertierbarkeit Hallo zusammen, ich habe hier ein Problem mit einer Aufgabenstellung. Und zwar soll eine Matrix angeben, die nicht invertierbar und nicht diagonalisierbar ist. Meine Ideen: Nun habe ich aber schon einige Matrizen aufgestellt, die nicht invertierbar waren. sie alle waren aber diagonalisierbar. kann es sein, dass es diese gesuchte matrix nicht gibt? |
||||||||
| 02.06.2010, 17:18 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Doch, doch, solche Matrizen gibt's schon. Versuchen wir's doch mal mit einer -Matrix A. Wir wollen: - A nicht invertierbar (z.B. eine Zeile 0) - ein möglichst einfaches charakteristisches Polynom (z.B. ) - für der Eigenraum zu diesem einzigen Eigenwert muss gelten: (denn dann ist A nicht diagonalisierbar) 
|
||||||||
| 02.06.2010, 19:57 | philochen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wir sollen die Diagonalisierbarkeit leider nicht über die Dimension des Eigenraums nachweisen, sondern folgendermaßen: Seien k1,k2, ... , kn die Eigenvektoren der Matrix M, und sei E die Einheitsmatrix, so muss gelten: (M - k1*E)*(M-k2*E)* ... * (M - kn*E) = 0 (dann ist M diagonalisierbar). und das trifft leider nie zu. Ich habe jetzt mal eine 3-3-Matrix aufgestellt: (ich entschuldige mich gleich für die schreibweise, ich bin neu hier und weiß nicht, wo ich welches zeichen finde): 0 1 1 M := 1 0 1 0 0 0 Die Eigenwerte sind somit k1= 0, k2 = 1, k3 = -1 Setze ich das nun in die Gleichung ein, erhalte ich: (M)*(M - E)*(M + E) und das ergibt leider wieder die Nullmatrix. Also ist sie diagonalisierbar und somit nicht die, die ich brauche. |
||||||||
| 02.06.2010, 20:18 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es ist klar , wenn Du eine 3 x 3 Matrix mit 3 paarweise verschiedenen Eigenwerten als Beispiel nimmst, dann ist sie sofort diagonalisierbar. Die Matrix soll nicht invertierbar sein => mindestens ein Eigenwert ist 0 Die Matrix soll nicht diagonalisierbar sein => mindestens ein Eigenwert kommt mindestens doppelt vor und die geometrische Vielfachheit ist nicht gleich der algebraischen. Ich würde eine obere Dreiecksmatrix angeben, denn bei dieser kannst Du die Eigenwerte direkt hinschreiben. |
||||||||
| 02.06.2010, 23:09 | philochen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
stimmt, mein Beispiel war richtig blöd... aber scheinbar is noch nicht ganz klar, was ich will, oder?^^ Ich weiß ja, wie man Eigenwerte etc. bestimmt. Ich finde nur einfach keine nicht invertierbare Matrix, auf die folgendes nicht zutrifft: (M - k1*E) * ... * (M - kn*E) =0 versucht es doch mal aus. wenn ich z.b. die Matrix A habe: 0 0 0 1 0 0 =: A 1 1 0 oder die Matrix B: 0 1 1 0 0 1 =:B 0 0 0 so hab ich bei beiden die Eigenwerte: k1=0, k2=0, k3=0 setz ich das jetzt in die Gleichung ein, kommt die Nullmatrix raus - was bedeutet, dass die Matrix diagonalisierbar ist. Und mir fällt einfach keine mehr ein, für die das nicht zutrifft. |
||||||||
| 02.06.2010, 23:34 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also weder deine Matrix A noch Matrix B sind diagonalisierbar. Was ist das für eine merkwürdige Gleichung die Du da verwendest? |
||||||||
| Anzeige | ||||||||
|
|
||||||||
| 03.06.2010, 01:49 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du sollst da ja auch nicht das charakteristische Polynom nehmen (nach Cayley-Hamilton ist das nämlich IMMER null), sondern du solltest die verschiedenen Eigenwerte einsetzen.
Er bezieht sich wohl auf folgendes Lemma:
|
||||||||
| 03.06.2010, 11:51 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ahja, danke! |
||||||||
| 04.06.2010, 12:52 | philochen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ok, wenn das so ist. ich hatte angenommen, ich müsste auch eigenwerte der vielfachheit 2 oder mehr, zwei oder mehrmals für k einsetzen. vielen dank. |
||||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
