mehrdimensionales integral

02.06.2010, 17:38

hamlax

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mehrdimensionales integral

Meine Frage:
Hallo,

ich habe eine neue Hausaufgabe bekommen die da lautet:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_0^{x^2} xe^x\, dx \, dy \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Als Ergebnis kommt bei mir $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}e - 1 \end{eqnarray*}$ raus. Und ausgerechnet dann 0.359.

Der Formelplotter sagt mir aber 0.499. Wer hat recht ??

Danke smile

smile

02.06.2010, 19:04

lgrizu

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RE: mehrdimensionales integral
wenn man das innere integral $\begin{eqnarray*} \int_0^{x^2} \! xe^x \, dx \end{eqnarray*}$ betrachtet, so kommt da eine funktion in abhängigkeit von x heraus, wenn man das in den vorgegebenen grenzen nach y integriert hat man noch immer eine funktion von x.....

edit: kann es sein, dass du etwas durcheinandergebracht hast?

edit2: rechtschreibung will gelernt sein.....

02.06.2010, 21:22

hamlax

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X e^y muss es in der Aufgabe heißen. Sorry

02.06.2010, 21:38

lgrizu

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okay, dann betrachten wir wieder das innere integral:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{x^2} \! xe^y \, dx =\left[\frac{1}{2}x^2e^y\right]^{x^2}_0 =\frac{1}{2}e^y(x^2)^2 \end{eqnarray*}$

02.06.2010, 21:44

hamlax

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Integriert man das nicht partiell ? verwirrt

verwirrt

02.06.2010, 21:54

lgrizu

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.....

$\begin{eqnarray*} \int_0^{1} \! \int_0^{x^2} \! xe^y \, dx \, dy=\int_0^{1} \! \left[\frac{1}{2}x^2e^y\right]^{x^2}_0 \, dy =\int_0^{1} \!\frac{1}{2}~e^y(x^2)^2 \, dy=\left[ \frac{1}{2}(x^2)^2e^y \right]^{1}_0=\frac{1}{2}(x^2)^2 - \frac{1}{2}(x^2)^2e \end{eqnarray*}$

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02.06.2010, 21:56

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Zitat:

Original von lgrizu
$\begin{eqnarray*} \int_0^{x^2} \! xe^y \, dx \end{eqnarray*}$

Es ist extrem schlechter Stil (vom Aufgabenersteller, nehme ich mal an), im Integral dasselbe Symbol für die Integrationsvariable wie auch für die Grenzen zu nehmen. Falls

$\begin{eqnarray*} \int_0^{x^2} \! te^y \, dt \end{eqnarray*}$

gemeint ist, dann schreibt man das doch auch besser so. Ansonsten sind Missverständnissen Tür und Tor geöffnet. unglücklich

unglücklich

02.06.2010, 21:59

lgrizu

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@ Arthur:

Zitat:

Original von hamlax
Meine Frage:
Hallo,

ich habe eine neue Hausaufgabe bekommen die da lautet:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_0^{x^2} xe^x\, dx \, dy \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Als Ergebnis kommt bei mir $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}e - 1 \end{eqnarray*}$ raus. Und ausgerechnet dann 0.359.

Der Formelplotter sagt mir aber 0.499. Wer hat recht ??

02.06.2010, 22:02

hamlax

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Sorry aber die originalaufgabe vom Prof sieht so aus :

$\begin{eqnarray*} \int \int_U x e^y dx \, dy \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} U = \left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | 0 \le x \le 1, 0 \le y \le x^2\right\} \end{eqnarray*}$

02.06.2010, 22:05

lgrizu

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dann ist das dein gesuchtes integral:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_0^{x^2} xe^y\, dy \, dx=\int_0^{x^2} \int_0^1 xe^y \, dx \, dy \end{eqnarray*}$ , und da sieht das ganze dann schon anders aus.

ich rechne das gerade mal nach, du schreibst deinen rechenweg auf.....

02.06.2010, 22:42

hamlax

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Ich bin grad durcheinander.

Was integriere ich zuerst und in welchen Grenzen ??

02.06.2010, 22:46

lgrizu

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es ist völlig egal, was du zuerst integrierst (Satz von Fubini), entscheidend ist, dass die integrationsgrenzen für f(y) 0 und x^2 sind und für f(x) 0 und 1, das hast du in deinem ersten post falschherum geschrieben, so dass es zu mißverständnissen kam.

edit: ich bin gleich off, wenn sich also jemand anderes diesem thread annhemen möchte.....
Arthur....?? Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.06.2010, 22:50

AD

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@hamlax

Ohje, da wird es aber wirklich mal Zeit, dass du dir den Satz von Fubini richtig zu Gemüte führst. Und zwar inhaltlich, nicht nur mit Formelsymbolen rumjonglierend, die du letztendlich gar nicht richtig erfasst hast. unglücklich

unglücklich

EDIT: ... oh, etwas spät. Aber ein einer Übernahme bin ich nicht interessiert, bin nämlich auch gleich weg.

02.06.2010, 22:53

hamlax

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Ich Versuch das hier mal zu regeln allein und poste dann morgen früh das Ergebnis. Danke für die Hilfe :-)

03.06.2010, 08:08

hamlax

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So,
folgendes kam raus..

$\begin{eqnarray*} <br /> \int \! \int_U xe^y \, dx \, dy = \int_0^1 \! \left( \int_0^{x^2} \! xe^y \, dy\right) \, dx<br /> \end{eqnarray*}$

Für das innere Integral gilt:
$\begin{eqnarray*} <br /> \int_0^{x^2} \! xe^y \, dy & = \left[x e^y\right]_0^{x^2} = xe^{x^2} - x<br /> \end{eqnarray*}$

Es ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} <br /> \int_0^1 \! xe^{x^2} - x \, dx & = \int_0^1 \! xe^{x^2} \, dx - \int_0^1 \! x \, dx<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> & = \frac{1}{2} \int_0^1 \! 2xe^{x^2} \, dx - \int_0^1 \! x \, dx<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> & = \frac{1}{2}\left( \left[ e^{x^2} \right]_0^1 \right) - \left[\frac{1}{2}x^2\right]_0^1<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> & = \frac{1}{2}\left(e-1\right) - \frac{1}{2} \approx 0.359<br /> \end{eqnarray*}$
[/latex]

03.06.2010, 08:31

lgrizu

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das sieht richtig aus, auch wenn ich das mit substitution gelöst hätte.....

03.06.2010, 08:37

hamlax

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Okay cool.

dann geh ich mal davon aus dass der Formelplotter sich beim integrieren vertut ...

vielen Dank smile

smile

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