simple Ungleichung

31.10.2006, 17:22

billyjo1985

simple Ungleichung

Hallo,

habe folgende einfache ungleichung:

((x-2)/(4+2x))<x

die gleichung ist für alle x>-2 erfüllt. Das kriegt man durch Überlegung(für x<-2 nenner und zähler neg-> links pos -> größer als das negative x rechts) raus. Aber wie komme ich rechnerisch darauf???

MFG

31.10.2006, 17:26

tigerbine

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RE: simple Ungleichung

Zitat:

Original von billyjo1985
Hallo,

habe folgende einfache ungleichung:

$\begin{eqnarray*} \frac{(x-2)}{(4+2x)}<x \end{eqnarray*}$

die gleichung ist für alle x>-2 erfüllt. Das kriegt man durch Überlegung(für x<-2 nenner und zähler neg-> links pos -> größer als das negative x rechts) raus. Aber wie komme ich rechnerisch darauf???

MFG

Das Auge ist mit Augenzwinkern

31.10.2006, 17:38

mYthos

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Durch Fallunterscheidung!

1. Nenner positiv -> bei Multiplikation bleibt das Relationszeichen gleich
2. Nenner negativ -> bei Multiplikation kehrt sich das Relationszeichen um

Somit kannst du die erforderlichen Äquvalenzumformungen durchführen. Die Teillösungsmengen der beiden Fälle sind danach zu vereinigen.

mY+

31.10.2006, 18:17

billyjo1985

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Re
Hey
also:
$\begin{eqnarray*} 4+2x<0 \end{eqnarray*}$
also x<-2
bzw.
$\begin{eqnarray*} 4+2x>0 \end{eqnarray*}$
also x>-2

sofar und weiter? Schreibe ich jetzt
$\begin{eqnarray*} \frac{(x-2)}{(-(4+2x))}<x \end{eqnarray*}$

wenn ich das alles ausmultipliziere komme ich auf ne quadratische gleichung bringt mir aber nix...
oder wie meinst du das??

MFG

31.10.2006, 18:46

habac

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oder zuerst durch Umformung:

((x-2)/(4+2x))<x

Subtrahiere x:

$\begin{eqnarray*} $\frac{x-2}{4+2x}-x<0$ \end{eqnarray*}$

links auf einen Bruchstrich: $\begin{eqnarray*} $\frac{x-2-x(4+2x)}{4+2x}-x<0$ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} $\frac{-2x^2-3x-2}{4+2x}-x<0$ \end{eqnarray*}$

jetz Zähler und Nenner getrennt betracheten: Sie müssen verschiedene Vorzeichen haben.

Zähler $\begin{eqnarray*} $z=-2x^2-3x-2$ \end{eqnarray*}$ ist Parabel, $\begin{eqnarray*} $ z<0$ \end{eqnarray*}$ ausserhalb der Nullstellen, $\begin{eqnarray*} $ z>0$ \end{eqnarray*}$ zwischen der Nullstellen.

Nenner $\begin{eqnarray*} n= 4+2x \end{eqnarray*}$ Gerade, $\begin{eqnarray*} $n>0$ \end{eqnarray*}$ rechts der Nullstelle etc etc.

Gruss

habac

31.10.2006, 19:42

mYthos

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RE: Re
@habac

Nach dem gemeinsamen Nenner gehört das -x nach dem Bruch weg, is' sicher nur ein Schreibfehler.

@billyjoe

Ja, der Anfang stimmt, und auch die quadratische Gleichung bringt was! Dann ist

$\begin{eqnarray*} 0 < 2x^2 + 3x + 2 \end{eqnarray*}$

Da diese Gleichung keine reellen Lösungen (Nullstellen) hat, kannst du sofort sagen (Test mit x = 0), dass diese Beziehung immer (für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ) erfüllt ist, somit ist die erste Teillösungsmenge die Schnittmenge von R mit {x > -2}

$\begin{eqnarray*} L_1 = \{ x | x > -2 \} \end{eqnarray*}$

Nun der Fall 2:

Vor.: x < -2,
bei der quadr. Gleichung kehrt sich nur das Relationszeichen um! Welches ist jetzt die 2. Teillösungsmenge?

mY+

31.10.2006, 20:22

billyjo1985

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RE: Re
Hallo

Zitat:

kannst du sofort sagen (Test mit x = 0), dass diese Beziehung immer (für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ) erfüllt ist

wenn dem so ist würde bei umgedrehtem relationszeichen 0>2 stehen bleiben. Somit gibt es keine weitere Lösung.

MFG
Danke für eure Hilfe

31.10.2006, 20:38

mYthos

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OK, das ist richtig. Die zweite Lösungsmenge ist leer.

mY+

31.10.2006, 20:39

billyjo1985

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RE: Re
Eine Frage noch warum schaue ich nur nach dem nenner???
Im Prinzip gibt es ja die möglichekeiten
n>0,z>0
n<0,z>0
n>0;z<0
n<0,z<0

MFG

31.10.2006, 20:48

habac

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ja , mYThos, ist ein Schreibfehler, sorry, kommt von copy and paste.

Gruss

habac

31.10.2006, 20:55

mYthos

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RE: Re

Zitat:

Original von billyjo1985
Eine Frage noch warum schaue ich nur nach dem nenner???
...
MFG

Einfach deswegen, weil du ja die Ungleichung immer nur mit dem Nenner multiplizieren musst, und nur beim Multiplizieren auf das Vorzeichen des Faktors zu achten ist!

mY+

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