Abstand windschiefer Geraden

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chell Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand windschiefer Geraden
Hallo,

ich habe eine Frage. Und zwar habe ich zur Berechnung des Abstandes zwischen zwei windschiefen Geraden zwei Verfahren gesehen:

1. Man konstruiert eine Hilfsebene, deren Normalenvektor senkrecht auf den RV der beiden Geraden steht, und die den Aufpunkt einer Geraden, also eine Gerade komplett enthält und zur anderen Geraden parallel steht. Dann bringt man die Hilfsebene mit der Geraden, die diese nicht enthält zum Schnitt. Diesen Punkt nimmt man dann als Aufpunkt einer Geraden, die in Richtung des Normalenvektors der Ebene zeigt. Diese Geraden bringt man dann mit der Geraden, die in der Ebene enthalten ist, zum Schnitt. Nun hat man die beiden Punkte, von denen der Betrag des Verbindungsvektors den kürzesten Abstand der beiden windschiefen Geraden darstellt.

2. Man erstellt eine Hilfsebene, die den Aufpunkt A einer Geraden enthält und senkrecht zur anderen Geraden steht, d.h. der NV der RV der Gerade ist, deren Aufpunkt NICHT in der Ebene enthalten ist. Nun bringt man die Ebene mit eben dieser Geraden zum Schnitt und berechnet den Abstand des Aufpunktes A vom errechneten Schnittpunkt.

Gibt es bei diesen Verfahren im Ergebnis einen Unterschied?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand windschiefer Geraden
Zitat:
Original von chell
...
Gibt es bei diesen Verfahren im Ergebnis einen Unterschied?


Keinen, fürchte ich. Denn beide Verfahren lösen dieses Problem so nicht.

Insbesondere beim ersten ist zu erkennen, dass es keinen Schnittpunkt deiner Hilfsebene mit der Geraden geben kann, weil die Gerade parallel zu ihr ist (das hast du in der Beschreibung sogar selbst noch angemerkt). Wenn du allerdings im Anschluss den Abstand der zweiten Geraden von dieser Hilfsebene zu berechnen suchst, könnte das doch noch der richtige Weg werden. Die Endpunkte des Lotes erhalten wir bei diesem Vorgehen aber (noch) nicht.

Im zweiten Verfahren kann ich keinen Sinn erkennen.

Woher beziehst du diese "Methoden" bzw. wie kannst du diese begründen?
Warum löst du die Aufgabe nicht auf den "gängigen" Lösungswegen?
Wenn nur der kürzeste Abstand gefragt ist und nicht die Endpunkte des Gemeinlotes, kannst du das Ganze mit einer einzigen Formel lösen. Auch ein zweites, abgewandeltes Hilfsebenenverfahren (Ebene, die eine Gerade und den Normalvektor auf beide Richtungsvektoren der Geraden enthält) kann die Lösung bringen und - nicht zu vergessen - der geschlossene Vektorzug. Letzterer liefert in einem Aufwaschen sowohl den Abstand als auch die Endpunkte des Gemeinlotes.

mY+
 
 
chell Auf diesen Beitrag antworten »

Bezüglich der Hilfsebene: Wenn ich so eine Hilfsebene konstruiere, also eine Ebene, die die eine Gerade enthält und parallel zur anderen Geraden verläuft und dann den Abstand vom Aufpunkt dieser Geraden zur Ebene mit Hilfe der NHF berechne, woher weiß ich, dass es der kürzeste Abstand ist?

Ist dies der Fall, weil die Ebene orthogonal auf der Geraden steht und der Verbindungsvektor mit der Länge des kürzesten Abstands ebenfalls?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte lese meinen ersten Beitrag nochmals, ich habe ihn editiert.

Die Hilfsebene, die du ansprichst, enthält die Richtungsvektoren beider Geraden und eine der beiden Geraden. Die zweite Gerade ist parallel zu ihr. Daher haben alle Punkte der zweiten Geraden als Abstand von der Ebene den gesuchten kürzesten Normalabstand.

mY+
chell Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, d.h.

Ich finde für diese Hilfsebene einen Normalenvektor, der orthogonal zu beiden Geraden steht und nehme mir dann den Aufpunkt einer Geraden als Aufpunkt für meine Ebene.

Zur anderen Geraden (also zu der, deren Aufpunkt ich nicht für die Hilfsebene verwendet habe), ist diese Ebene parallel ,da ihr RV orthogonal zum NV der Ebene ist. Dadurch, dass die Ebene und die Gerade parallel sind, haben sie natürlich überall den gleichen Abstand - den hier gesuchten Minimalabstand zwischen den beiden Geraden.

Mein Problem an der ganzen Sache ist, dass ich mir windschiefe Geraden nur ganz schwer im Kopf aber auch mit Stiften usw. visualisieren kann.
chell Auf diesen Beitrag antworten »

Noch mal zur Quelle meiner Methoden: Google. Wahrscheinlich habe ich die Beschreibungen die ich darüber gefunden habe, einfach falsch verstanden.

Langsam quillt mein Kopf auch über mit Mathe. Naja, ich muss eben super vorbereitet sein für das mündliche Abi nächste Woche... traurig
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du noch Fragen?

Rechne doch mal ein Beispiel durch. Du findest auch hier mittels der Boardsuche zahlreiche Beiträge, die sich mit diesem Thema befassen. Dazu brauchst du nicht mal Google ... Big Laugh

mY+
chell Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, habe mal ein Beispiel durchgerechnet:

g:x=(2/3/0)*r*(1/2/-2)

h: x=(1/6/4)+s(-1/2/0)

Habe dann einen Normalenvektor gefunden, der orthogonal auf den RV beider Geraden liegt: n = (2/1/2).

Anschließend eine Hilfsebene gebildet, mit Hilfe des NV und des Stützvektors (nennt man das so bei einer Gerade?) der Geraden g:

E: (2/1/2)x-7=0

Dann die HNF gebildet und den Stützvektor der Gerade h eingesetzt:

1/3*(2/1/2)*(1/6/4) - 7/3 = 3

Somit beträgt der geringste Abstand zwischen den Geraden g und h 3 Längeneinheiten.

Stimmt das so?

Ich glaube, dass ich die Prüfungsthemen (Analysis und analytische Geometrie) ganz gut drauf habe, aber von der mündl. Prüfung hängt mein Abischnitt ab, daher bin ich ehrgeizig, meinen bestmöglichen Schnitt rauszuholen (wozu ich aber mind. 12 Pt. in der Prüfung brauche ;-)).
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das stimmt so, da gibt's nichts zu meckern smile

mY+
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte nur dazu was sagen.
Zitat:
Original von chell
Mein Problem an der ganzen Sache ist, dass ich mir windschiefe Geraden nur ganz schwer im Kopf aber auch mit Stiften usw. visualisieren kann.

Wenn ich mir zu diesem Thema schnell was aufskizziere, unterbreche ich die unten liegende Gerade ein wenig, und das zusammen mit dem Verbindungsvektor macht die Situation ausreichend deutlich - finde ich halt.

[attach]14977[/attach]
chell Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo. Danke für die Skizze. So kann ich mir das besser vorstellen. Was ich mir aber immer noch nicht vorstellen kann, ist die Hilfsebene, die eine Gerade enthält und parallel zur anderen Geraden ist, deren NV also der eingezeichnete Verbinsubgsvektor ist.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Augenzwinkern
chell Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Skizze. Wenn ich sie richtig deute, dann enthält die Ebene die "untere" Gerade. Ich erkenne auch, dass der NV orthogonal zum RV der "oberen" Gerade ist, das sieht aber irgendwie so aus, als ob der RV der "unteren Geraden" nicht orthogonal zum NV ist..

Oder sind die roten Linien nun die Geraden?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

die rote und die schwarze gerade sind windschief.
die zur roten geraden parallele ebene E wird aufgespannt durch die schwarze und eine zur roten parallelen geraden.
das der normalenvektor von E nicht als senkrecht zu beiden geraden gezeichnet werden kann, liegt in der natur der sache smile
daher wird ja auch dein vorstellungsvermögen (über) strapaziert Augenzwinkern
chell Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, aber prinzipiell ist der Ansatz der, dass ich eine Ebene wähle, die eine Gerade enthält und deren NV zu den RVs beider Geraden senkrecht ist?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

und dann bringst du E auf die HNF und setzt irgendeinen punkt (z.b. praktischerweise den aufpunkt) der windschiefen geraden - hie der roten - ein, damit hast du den abstand der beiden geraden Augenzwinkern
chell Auf diesen Beitrag antworten »

Dies ist dann auch der geringste Abstand, oder?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von chell
Dies ist dann auch der geringste Abstand, oder?


üblicherweise versteht man unter abstand den geringsten.
sonst gibt es ja deren viele Augenzwinkern
kadzam Auf diesen Beitrag antworten »
geringster Abstand
hallo

ich habe das Problem, dass ich nicht weiß wie ich geometrisch den geringsten Abstand bekomme. Mein Lehrer hat mir etwas mit Vektor V nach R und dann wird eine Lotgerade daran gebildet....

Wäre nett wenn man mir hilft


Übrigens kann man mithilfe der Differenzialgleichung den geringsten Abstand ausrechnen, das weis ich.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du eigentlich den ganzen Thread durchgelesen? Da steht's doch auch.
Überdies kannst du hier im Board nach den zahlreichen diesbezüglichen Beiträgen suchen, du wirst staunen, was du alles findest.

Bei einer speziellen Frage stelle doch einfach ein Beispiel samt deiner Rechnung (Ansätze, Vorschläge und konkreter Problemlage) ein, an Hand dessen kann es vielleicht klarer werden; auch das, was dein Lehrer gesagt haben soll.

mY+
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