Verschoben! Goniometrische Gleichung

02.06.2010, 22:01	Dandi	Auf diesen Beitrag antworten »
Goniometrische Gleichung Meine Frage: Also habe diese Gleichung: sinx+cosx=0 habe cosx=Wurzel{1-sin^2x} engesetzt, nun sieht das so aus: sinx+ Wurzel(1-sin^2x)=0 sinx+0.5(1-sin^2x)=0----> Wurzel aufgelöst sinx+0.5-(sin^2x)/2=0---->/2/+sin^2x 2sinx+1=sin^2x------>/2sinx 1=0.5sinx--->2 2=sinx laut Lösung soll es 4 Resultate geben: x=o x=Pi x=Pi/2 x=3/2Pi 1. Meine Lösung ist falsch... 2. brauch Ratschläge um möcglichst schnell ans Resultat zu kommen. An der Semesterprüfung werde ich sehr wenig Zeit haben... Meine Ideen:* Schon erwähnt
02.06.2010, 22:18	Dandi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe jetzt das es eine Quadratische Gleichung vorkommt, wobei ich andere Variabeln für sinx nehmen muss sinx+0.5*(sin^2x)=0 -0.5sin^2x+sinx+0.5=0 edit: Quatratische Gleichung hat nicht funktioniert weil im die Wurzel negativ wird. Was nun??
02.06.2010, 23:43	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Was du da oben gerechnet hast und insbesondere, wie du die "Wurzel aufgelöst" hast, ist falsch. Die 0,5 als Faktor haben keine Daseinsberechtigung, da bringst du etwas ganz arg durcheinander. Das Ersetzen des $\begin{eqnarray} \cos x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \sqrt {1 - \sin^2 x} \end{eqnarray}$ ist durchaus gängig und führt - nach dem Quadrieren - zu einer quadratischen Gleichung. Deren Lösungen sind jedoch für die goniometrische Gleichung nicht alle richtig, da das Quadrieren nicht immer (-> nur in der Hälfte aller Fälle) eine Äquivalenzumformung darstellt. Daher müssen alle Lösungen durch Einsetzen überprüft werden. $\begin{eqnarray} \sin^2 x = 1 - \sin^2 x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sin ^2 x = \frac 1 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ Besser ist es hier in diesem Fall, die Gleichung durch $\begin{eqnarray} \cos x \end{eqnarray}$ zu dividieren. Dies ist deswegen zulässig, da in dieser Gleichung niemals $\begin{eqnarray} \cos x = 0 \end{eqnarray}$ sein kann, denn dann wäre der Sinus gleich 1. $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\sin x}{\cos x} = -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tan x = -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ Der Vorteil dieser Methode ist, dass dann alle Lösungen dieser Gleichung richtig sind, da wir ausschließlich Äquivalenzumformungen vorgenommen haben. mY+

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