Koordinatenvektor - kurze frage zum vorgehen

02.06.2010, 23:11

Bazza

Koordinatenvektor - kurze frage zum vorgehen

Hallo,

ich habe mir schon einige threads zu dem thema angeschaut, allerdings bin ich mir noch unsicher, ob mein bisheriges vorgehen richtig ist.

die aufgabenstellung lautet wie folgt:

Zitat:

Gegeben sei die Basis $\begin{eqnarray*} B=(v_1,v_2,v_3) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^(1\times 3) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v_1=(1,-1,0), v_2=(0,-3,1),(v_3=(1,1,-1) \end{eqnarray*}$

Weiter sei der Vektor $\begin{eqnarray*} w=(0,1,0) \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^(1\times 3) \end{eqnarray*}$ gegeben.

Bestimme den Koordinatenvektor von w bezüglich der Basis B.

Zuerst habe ich die matrix aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & -3 &1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , wobei ich hier ein verständnisproblem habe.

da meine Basisvektoren aus R^(1x3) sind, habe ich doch 1 zeile und 3 spalten. schreibe ich sie trotzdem, so wie ich es hier in der matrix gemacht habe, als spalten auf?

für den fall, das dies richtig ist, habe ich so weiter gemacht:

die matrix mittels gauß umgeformt und diese erhalten:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & -1/3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dann das LGS mit lösung w betrachtet, wodurch ich

c=0
b=-1/3
a=0

erhalte.

Wäre dann mein koordinatenvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -1/3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (0,-1/3,0) \end{eqnarray*}$ , oder besteht hier gar kein unterschied?

Ich bedanke mich schonmal für jede antwort

03.06.2010, 00:36

tigerbine

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RE: Koordinatenvektor - kurze frage zum vorgehen
Hallo,

notieren wir es mal klassisch mit Spaltenvektoren. Siehe auch [Artikel] Basiswechsel

Gegeben sei die Basis $\begin{eqnarray*} B=\{v_1,v_2,v_3\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v_1=(1,-1,0)^T, v_2=(0,-3,1) ^T,v_3=(1,1,-1)^T \end{eqnarray*}$

Weiter sei der Vektor $\begin{eqnarray*} w=(0,1,0)^T \end{eqnarray*}$ gegeben. Bestimme den Koordinatenvektor von w bezüglich der Basis B.

Wir benötigen also eine Matrix, die uns Koordinaten bzgl. der Einheitsbasis E in Koordinaten bzgl. B umrechnen läßt. Wir sollen hier explizit den zweiten Einheitsvektor von E umrechnen. Wie man auf die Matrix kommt, steht im Link.

$\begin{eqnarray*} S=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & -3 &1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Matrix rechnet von B nach E um. Wir wollen aber genau das Gegenteil. Also musst du die Matrix invertieren und berechnen

$\begin{eqnarray*} S^{-1}w_E= w_B \end{eqnarray*}$

zur Probe:

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7:	S^(-1) ans = 2.00000000000000 1.00000000000000 3.00000000000000 -1.00000000000000 -1.00000000000000 -2.00000000000000 -1.00000000000000 -1.00000000000000 -3.00000000000000

03.06.2010, 09:39

jester.

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RE: Koordinatenvektor - kurze frage zum vorgehen

Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} B=\{v_1,v_2,v_3\} \end{eqnarray*}$

Bei so einer Aufgabe sollte man m.E., wie auch im verlinkten Artikel gemacht, eine geordnete Basis $\begin{eqnarray*} (v_1,v_2,v_3) \end{eqnarray*}$ verwenden, da sonst Koordinatenvektoren etc. nicht eindeutig sind.
Dafür wurden uns Studenten damals in der LA I Punkte abgezogen und heute als Tutor würde ich das ebenfalls so handhaben. Augenzwinkern