Untersuchung von Stetigkeit

02.06.2010, 23:33

Pockator

Untersuchung von Stetigkeit

Meine Frage:
Hallo,

ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:
a) Untersuchen Sie die folgend Funktion auf Stetigkeit:
f(x)=(1-cosx)/x^3 für alle x ungleich 0, f(0)=1/2
b) Ist die Funktion Integrierbar, wenn ja, dann bestimmen Sie das unbestimmte Integral
c) bestimmen Sie das Taylorpolynom.

Meine Ideen:
Wenn a) gelöst ist, ist der 1. Teil von b) ja klar, dann ist die Funktion Integrierbar, weil Sie stetig ist (oder?). Ich weiß auch, dass ich bei a) beide Grenzwerte betrachten muss, aber ich weiß nicht wie das geht.

02.06.2010, 23:49

corvus

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RE: Untersuchung von Stetigkeit

Zitat:

Original von Pockator

a) Untersuchen Sie die folgend Funktion auf Stetigkeit:
f(x)=(1-cosx)/x^3 für alle x ungleich 0, f(0)=1/2

vielleicht heisst die Aufgabe ja so:
f(x)=(1-cosx)/x^2 für alle x ungleich 0, f(0)=1/2

Dann wäre f überall stetig

(wenn aber wirklich im Nenner der Exponent 3 stünde, kannst dus vergessen..)

schau also nochmal genau nach..

03.06.2010, 00:11

Pockator

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RE: Untersuchung von Stetigkeit
Stimmt, die Funktion lautet (1-cosx)/x^2
wie untersuche ich die Stetigkeit?

03.06.2010, 09:50

corvus

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RE: Untersuchung von Stetigkeit

Zitat:

Original von Pockator
Stimmt, die Funktion lautet (1-cosx)/x^2

.......................................................... smile

Zitat:

Original von Pockator

wie untersuche ich die Stetigkeit?

ganz einfach : berechne den Grenzwert :
(und zwar so lange, bis du 1/2 raus hast smile

)

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{1-cos(x)}{x^2} = ... \end{eqnarray*}$

ok?

03.06.2010, 12:16

Pockator

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RE: Untersuchung von Stetigkeit
Also, dann wird es wohl so sein:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} = 0 \end{eqnarray*}$ für 1-cos(x) und
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} {x^2} \end{eqnarray*}$
kann ich l'Hospital anwenden und erhalten dann:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{1-cos(x)}{x^2} = \frac{ \lim_{x \to 0}{(1-cos(x))}}{ \lim_{x \to 0}{x^2}} = \frac{ \lim_{x \to 0}{(-sin(x))}}{ \lim_{x \to 0}{2x}}=\frac{ \lim_{x \to 0}{cos(x)}}{ \lim_{x \to 0}{2}}= \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

03.06.2010, 12:18

Pockator

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RE: Untersuchung von Stetigkeit
Also ist die Funktion Stetig im Punkt f(0)=1/2.

Wie sieht es jetzt mit der Integrierbarkeit aus? Ist Integrierbar, da Stetig. Das Integral wäre dann ???

03.06.2010, 12:44

corvus

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RE: Untersuchung von Stetigkeit

Zitat:

Original von Pockator
Also, dann wird es wohl so sein:

kann ich l'Hospital anwenden und erhalten dann:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{1-cos(x)}{x^2} = \frac{ \lim_{x \to 0}{(1-cos(x))}}{ \lim_{x \to 0}{x^2}} = \frac{ \lim_{x \to 0}{(-sin(x))}}{ \lim_{x \to 0}{2x}}=\frac{ \lim_{x \to 0}{cos(x)}}{ \lim_{x \to 0}{2}}= \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

na ja - obwohl voller Fehler (die Ableitung von 1-cosx ist nicht -sinx ..usw.. ) -
im Prinzip richtig...

und : du solltest nicht die Einzelgrenzwerte rumschleppen:
besser wäre so:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{1-cos(x)}{x^2} =\lim_{x \to 0} \frac{ {+sin(x)}}{ {2x}} = \lim_{x \to 0}\frac{cos(x)}{ 2}= \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Pockator
Wie sieht es jetzt mit der Integrierbarkeit aus? Ist Integrierbar, da Stetig.

ja.. stetig ist (ne wichtige) Kleinigkeit smile

Zitat:

Original von Pockator
Das Integral wäre dann ???

..na ja, das wirst du doch wohl noch alleine schaffen?

mach mal:

06.06.2010, 09:42

Pockator

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RE: Untersuchung von Stetigkeit
Ich habe das mit dem Integral versucht, aber es klappt nicht wirklich. Muss ich a) substituieren oder b) partielle Integration? Wenn a), was muss ich substituieren und wenn b), was ist u und was v'?

06.06.2010, 10:28

corvus

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RE: Untersuchung von Stetigkeit

Zitat:

Original von Pockator
Ich habe das mit dem Integral versucht, aber es klappt nicht wirklich.

.. dachte mir schon, dass du keine Freude am Si(x) (..Integralsinus) haben könntest..

deshalb mein Tipp:
geh erst mal zum Aufgabenteil c) "bestimmen Sie das Taylorpolynom"
dh: schau dir mal die Reihenentwicklungen an..
damit solltest du dann eigentlich problemlos klarkommen..

ok?

06.06.2010, 12:38

Pockator

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RE: Untersuchung von Stetigkeit
ich kan doch hier die cos-Reihe anwenden, so dass ich auf
1/2-x^2/4-x^4/12+...+Restglied
komme, oder?

06.06.2010, 14:33

corvus

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RE: Untersuchung von Stetigkeit

Zitat:

Original von Pockator
ich kan doch hier die cos-Reihe anwenden, so dass ich auf
1/2-x^2/4-x^4/12+...+Restglied
komme, oder?

also, das mit der cos-Reihe ist schon mal ne gute Idee.. aber,
da du dich hier im Bereich *Hochschulmathematik" tummelst,
solltest du eigentlich mitbekommen haben, was die
Ausrufezeichen in den Nennern denn "ausrufen" smile

mach das vielleicht nochmal:
1) für (1-cosx)/x^2 eine brauchbare Entwicklung
2) dann ist da ja noch ne Stammfunktion zu ermitteln (in Reihenentwicklung)

Wink

06.06.2010, 21:16

Pockator

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RE: Untersuchung von Stetigkeit
Okay, den Hinweis mit den Fakultäten habe ich verstanden. ich habe aus versehen 2*k! und nicht (2k)! gerechnet. Aber was meinst du mit dem 2. Teil?

06.06.2010, 22:14

corvus

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RE: Untersuchung von Stetigkeit

Zitat:

Original von Pockator
Aber was meinst du mit dem 2. Teil?

oh jeh..oh jeh..

einfach dies: habe schlicht deine Aufgabenstellung gelesen:

Zitat:

b) Ist die Funktion Integrierbar,
wenn ja, dann bestimmen Sie das unbestimmte Integral
c) bestimmen Sie das Taylorpolynom.

und da vermute ich mal, verwirrt

dass nicht nur für den Integranden,
sondern speziell für das unbestimmte Integral
(das du ja sonst anders bisher noch nicht ermitteln konntest)
eben eine Reihenentwicklung erwartet wird.

aber vielleicht siehst du das ja gar nicht so?
na ja, egal
.

06.06.2010, 23:28

Pockator

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RE: Untersuchung von Stetigkeit
ich sehe es momentan so, dass ich davon keine Ahnung habe, aber es schon wäre, wenn ich das integral kennen würde und auch die Reihenentwicklung, um eventuell noch Folgepunkte zu erhalten. Ich kann dir für deine bemühungen bisher nur danken, aber es wäre echt nett, wenn du, solltest du zeit haben, mir das Integral nenne würdest und die Taylorreihe.

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