Differentialgeometrie: Einheitssphäre

03.06.2010, 01:57	FaustFrankenstein	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgeometrie: Einheitssphäre Meine Frage: Hallo liebes Forum, ich habe eine Frage zu folgender Aufgabenstellung, Zeigen Sie, dass die Eiheitssphäre als einfache reguläre Fläche mit nur zwei lokalen Parametrisierungen beschrieben werden kann. Meine Ideen: Besteht der ganze Beweis darin, zwei Parametrisierung der Einheitssphäre anzugeben, so dass die ganze Einheitssphäre beschrieben ist? Soweit ich das auf den ersten Blick überschaue, ist die übliche sin/cos Abbildung an den Polen nicht injektiv und deshalb benötigt man hierfür eine weitere Parametrisierung. Ist das soweit richtig?
03.06.2010, 09:19	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast es richtig erkannt: Man kann z.B. die Erdoberfläche (=Sphäre) nicht durch eine einzige Landkarte eineindeutig abbilden, weil an den Polen keine Eineindeutigkeit vorliegt. Man benötigt also zumindest zwei Landkarten um jeden Punkt der Erdoberfläche (zumindest auf einer Karte) eineindeutig durch die Koordinaten phi und theta zu beschreiben (=Längen- und Breitengrad). Eine Überlappung der beiden Karten ist erlaubt. Bei der zweiten Karte muss man die Koordinaten (=Längen- und Breitengerade) so wählen, dass die singulären Punkte woanders liegen, also nicht mehr bei den "alten" Polen. In der Geometrie bezeichnet man solche Landkarten kurz als Karten und die Gesamtheit aller notwendigen Karten als Atlas. Die auf den ersten Blick ziemlich kompliziert erscheinende Definition des Begriffes "Mannigfaltigkeit" rührt allein daher, dass man meist nicht mit einer Karte auskommt wie bei der Erdkugel.
03.06.2010, 18:09	FaustFrankenstein	Auf diesen Beitrag antworten »
Grosses Merci.
03.06.2010, 18:28	FaustFrankenstein	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Vollständigkeit wegen, die beiden Parametrisierungen wären bei mir, $\begin{eqnarray} f_2 : ] - \frac{\pi}{2} ,\frac{\pi}{2} [ \times [ 0,2\pi ] \to \Re^3 \\<br /> <br /> f_1(\phi,\psi)=\begin{pmatrix} rcos \phi cos \psi \\ rcos \phi sin \psi \\ rsin \phi \end{pmatrix} <br /> \\<br /> f_2 : ] - \frac{\pi}{2} ,\frac{\pi}{2} [ \times [ 0,2\pi ] \to \Re^3 \\<br /> f_2(\phi,\psi)=\begin{pmatrix} rcos \phi cos \psi \\ rsin \phi \\ rcos \phi sin \psi \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »