Berechnung von Integralen mittels Residuen

03.06.2010, 12:24

Dr4gon

Berechnung von Integralen mittels Residuen

Hallo, ich sitze gerade vor einer Übungsaufagbe und komm nicht wirklich weiter. Und zwar soll ich folgendes Integral mittels Residuenberechnung bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{2 \Pi}{cos(5x) \cdot cos^5(x) dx} \end{eqnarray*}$

Ich weiß zwar wie man Residuen berechnet, aber hier scheitere ich irgendwie an der "vereinfachung" des Integrals.

Ich könnte ja den cos, als e-Funktion darstellen, aber das wird dann eine ewig langes Integral mit Exponentialfunktionen. Und weiters wüsste ich dann glaube ich nicht, welchen Grad des Polynoms ich für die Residuenberechnung benötige.

Könnt Ihr mir vielleicht ein paar Tips geben und sagen ob es eine andere Möglichkeit gibt, es einfacher zu berechnen? Wie könnte man die Winkelfunktionen umschreiben?

Danke schon einmal vielmals.

MfG

03.06.2010, 12:47

giles

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Wie wärs damit
$\begin{eqnarray*} \int_{0} ^{2 \pi}\cos(5 t) \cos ^5 (t) dt= \frac{1}{i} \underset{|z|=1}{\oint} \frac{1}{2}(z^5+\frac{1}{z^5})\cdot (\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z}))^5\frac{dz}{z} \end{eqnarray*}$

03.06.2010, 21:51

Dr4gon

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Danke schon mal für Deine Hilfe. Das hab ich auch schon probiert, nur ich komme hier eben nicht wirklich weiter.

Ich bekomme dann bei Vereinfachung des Integrals eben so einen ewig langen Term:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{64 \cdot i} \cdot \int_{|z| = 1} {\frac{z^{20} + 5z^{18}+10z^{16}+10z^{14}+5z^{12}+2z^{10}+5z^{8}+10z^{6}+10z^{4}+5z^{2}+1}{z^{11}} dz} \end{eqnarray*}$

Und um hier das Residuum zu berechnen müsste ich dann:

$\begin{eqnarray*} Res f(z) = \frac{1}{(m-1)!} \cdot (\frac{d}{dz})^{m-1}((z-z_0) \cdot f(z)) |_{z=z_0} \end{eqnarray*}$

mit

f(z) = das was im Integral steht
und
m = 11 (Polynom 11ten Grades)

Das kommt mir irgendwie seltsam vor, weil ich 10 mal differenzieiren müsste? Wie kann man da weiter vorgehen?

mfg

03.06.2010, 22:36

gonnabphd

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} Res f(z) = \frac{1}{(m-1)!} \cdot (\frac{d}{dz})^{m-1}((z-z_0) \cdot f(z)) |_{z=z_0} \end{eqnarray*}$

In diesem Fall kannst du das Residuum doch viel leichter berechnen:

$\begin{eqnarray*} && \frac{1}{64 \cdot i} \cdot \int_{|z| = 1} {\frac{z^{20} + 5z^{18}+10z^{16}+10z^{14}+5z^{12}+2z^{10}+5z^{8}+10z^{6}+10z^{4}+5z^{2}+1}{z^{11}} dz} \\ && = \frac{1}{64 \cdot i} \cdot \int_{|z| = 1} z^{9} + 5z^{7}+10z^{15}+10z^{13}+5z^{1}+2z^{-1}+5z^{-3}+10z^{-5}+10z^{-7}+5z^{-9}+1z^{-11}dz \\ && = \frac{1}{64 \cdot i} \cdot \int_{|z| = 1} 2z^{-1} dz = \ldots \end{eqnarray*}$

Das Residuum ist also genau der Koeffizient $\begin{eqnarray*} a_{-1} \end{eqnarray*}$ , wenn man die Funktion als Laurent-Reihe darstellt.

$\begin{eqnarray*} f(z) = \sum_{n = -\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n \end{eqnarray*}$

Grüsse. Wink

05.06.2010, 10:02

Dr4gon

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Hmm,

wie kommst du auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{64 \cdot i}\int_{|z|=0} 2 z^{-1} dz \end{eqnarray*}$

? DAs versteh ich noch nicht ganz...Hmm, ich "sehe" das nicht so wirklich wie man auf das kommen soll? Im unsrem Skript find ich darüber auch nicht wirklich was.... geschockt

mfg

05.06.2010, 10:23

saz

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Du integrierst (abgesehen von dem angegebenen Term) holomorphe Funktionen $\begin{eqnarray*} z^n \end{eqnarray*}$ über einen geschlossenen Weg (über einem sternförmigen Gebiet), d.h. insbesondere, dass diese Polynome für $\begin{eqnarray*} n \not= -1 \end{eqnarray*}$ Stammfunktionen besitzen... klingelts? smile

08.06.2010, 12:51

Dr4gon

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Ahhh :-D. Ok, vielen Dank mal. Hab wieda mal komplett "verkehrt" gedacht....Probiers gleich mal zu rechnen :-).

mfg

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