determinate berechne

03.06.2010, 13:06

ballu

determinate berechne

Meine Frage:
für a,b, element IR sei die 2n X 2n Matrix Bn gegeben durch
$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} a & 0 & ...&...& 0 & b \\ 0 & a & ...&...& b & 0 \\ ... & ... & a&b&...\\...&...&b&a&...\\0&b&...&...&a&0\\b&0&...&...&0&a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
zeige: det(Bn)= $\begin{eqnarray*} (a^{2}-b^{2})^n \end{eqnarray*}$ .
hinweis: streichen der ersten und letzten zeile und spalte von Bn ergibt Bn-1.

Meine Ideen:
hi, wäre super, wenn ihr mir weiter helfen könntet.
ich habe zunächst mal die det von der 2 x 2 matrix berechnet und er halte dann $\begin{eqnarray*} a^{2}-b^{2} \end{eqnarray*}$ . bei der 3 x 3 matrix erhalte ich dann allerdings $\begin{eqnarray*} (a^{2}-b^{2})* a^{2} \end{eqnarray*}$ . bei der 4 x 4 matrix erhalte ich dann $\begin{eqnarray*} (a^{2}-b^{2})^{2}* a^{2} \end{eqnarray*}$ .
und bei der 2n x 2n matrix erhalte ich $\begin{eqnarray*} (a^{2}-b^{2})^{n}* a^{2} \end{eqnarray*}$ .
mein problem ist das letzte $\begin{eqnarray*} a^{2} \end{eqnarray*}$ ich habe es jetzt schon öfters gerechnet, erhalte allerdings immer wieder die obrigen ergebnisse und weiß nicht wo mein fehler ist. denn laut aufgabenstellung darf dieses zusätzliche $\begin{eqnarray*} a^{2} \end{eqnarray*}$ nicht in der lösung auftauchen.
bin über jeden tip dankbar. vielen dank im voraus

03.06.2010, 14:02

Reksilat

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Hi ballu,

Ohne Rechenweg kann Dir leider auch keiner sagen, wo der Fehler liegt. Ich sehe auch nicht, wo das a² herkommen sollte. Beschreibe doch wenigstens mal Dein Vorgehen.
Wie Du die Determinante der 3x3-Matrix berechnet haben willst, ist mir auch schleierhaft. Wie soll die Matrix denn überhaupt aussehen? verwirrt

Gruß,
Reksilat.

03.06.2010, 18:48

ballu

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ich habe zunächst einmal die determinate für det (B2)aufgestellt

det (B2)= $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a&b \\b&a\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} a^{2}-b^{2} \end{eqnarray*}$

dann für det (B3)

det (B3)= $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a & 0 &b \\ 0&a&0 \\b&0&a \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a & 0 &b \\ 0&a&0 \\0&0&a^{2}-b^{2} \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
somit würde ich die determinate erhalten $\begin{eqnarray*} a^{2}-b^{2}*a^{2} \end{eqnarray*}$
da ich nach $\begin{eqnarray*} a^{2}-b^{2} \end{eqnarray*}$ entwickelt habe und dann nur in der diagonale $\begin{eqnarray*} a^{2} \end{eqnarray*}$ noch stehen habe.

so sieht es dann auch bei det (B4) aus
somit konnte ich ein gewisses schema erkennen und habe mich dann an det (Bn) gewagt und dann folgendes ergebnis herausbekommen
ich habe immer nach der letzten spalte bzw zeile entwickelt und dann $\begin{eqnarray*} (a^{2}-b^{2})^{n} \end{eqnarray*}$ herausbekommen allerdings immer mit diesem $\begin{eqnarray*} a^{2} \end{eqnarray*}$

03.06.2010, 18:53

Reksilat

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Die Matrix Bn hat die Dimension 2nx2n. Somit ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}=B_1 \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} B_2 \end{eqnarray*}$ hat schon Dimension 4x4 - eine 3x3-Matrix gibt es hier nicht.

Selbst unter diesen Voraussetzungen kann ich Deinen Rechenschritt für Deine 3x3-Matrix absolut nicht nachvollziehen. Sage wenigstens, welche Regeln Du verwendest.

04.06.2010, 10:21

Ehos

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Ich zeige dir den "Beweis" mal am Beispiel einer 6x6-Matrix. Gegeben ist also

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a & 0 & 0 &0 & 0 & b\\ 0 & a & 0 &0 & b & 0\\ 0 & 0 & a &b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b & a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 & 0 & a & 0 \\ b & 0 & 0 &0 & 0 & a \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Wir entwickeln die Matrix mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz nach der 1.Zeile und erhalten

$\begin{eqnarray*} a \begin{vmatrix} a & 0 & 0 & b & 0\\ 0 & a & b & 0 & 0 \\ 0 & b & a & 0 & 0 \\ b & 0 & 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a \end{vmatrix} -b \begin{vmatrix} 0 & a & 0 & 0 & b\\ 0 & 0 & a & b & 0 \\ 0 & 0 & b & a & 0 \\ 0 & b & 0 & 0 & a \\ b & 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese beiden Determinanten entwickeln wir wiederum - diesmal nach den letzten Zeilen. Weil in den letzten Zeilen aber jeweils nur ein einziges Matrixelement von Null verschieden ist, egibt diese "Entwicklung" jeweils nur einen einzigen Summanden. Wir erhalten also

$\begin{eqnarray*} a^2 \begin{vmatrix} a & 0 & 0 & b \\ 0 & a & b & 0 \\ 0 & b & a & 0 \\ b & 0 & 0 & a \end{vmatrix}- b^2 \begin{vmatrix} a & 0 & 0 & b\\ 0 & a & b & 0 \\ 0 & b & a & 0 \\ b & 0 & 0 & a \end{vmatrix}=\left (a^2-b^2 \right ) \cdot \begin{vmatrix} a & 0 & 0 & b \\ 0 & a & b & 0 \\ 0 & b & a & 0 \\ b & 0 & 0 & a \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Die am Ende auftetende 4x4-Determiante hat die gleiche Struktur wie die ursprüngliche 6x6-Determinante. Diese Prozedur wird solange wiederhaolt, wie es geht. Man sieht sofort, dass am Ende das Gewünschte rauskommt.

Einen exakten mathematischen Beweis müsstte man auf ähnliche Weise mit vollständiger Induktion durchführen. Aber ich glaube, das Prinzip ist auch ohne Induktion klar.

04.06.2010, 11:04

Mystic

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Zitat:

Original von Ehos
Ich zeige dir den "Beweis" mal am Beispiel einer 6x6-Matrix. Gegeben ist also

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a & 0 & 0 &0 & 0 & b\\ 0 & a & 0 &0 & b & 0\\ 0 & 0 & a &b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b & a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 & 0 & a & 0 \\ b & 0 & 0 &0 & 0 & a \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Wir entwickeln die Matrix mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz nach der 1.Zeile und erhalten[...]

Ok, das ist eine Möglichkeit und nicht die schlechteste... Augenzwinkern

Eine prinzipiell andere wäre es, hier die Formel

$\begin{eqnarray*} |A|=\sum_{\pi \in S_m} sign(\pi) a_{1\pi(1)} a_{2\pi(2)} \ldots a_{m\pi(m)} \end{eqnarray*}$

für die Determinante einer mxm-Matrix $\begin{eqnarray*} A=(a_{ij}) \end{eqnarray*}$ zu verwenden...

Man muss dazu nur sehen, dass man für die hier gegebene Matrix mit m=2n in der i-ten Zeile $\begin{eqnarray*} (1 \le i \le n) \end{eqnarray*}$ jeweils a oder b wählen kann, worauf man in der (2n+1-i)-ten Zeilen das gleiche Element a oder b wählen muss... Wir können also nur in der ersten Hälfte der Zeilen zwischen a und b total frei wählen, wenn das Ergebnis nicht 0 sein soll, die zweite Hälfte ist dann festgelegt... Bei jeder Wahl von b in der ersten Hälfte bekommen wir aber automatisch eine Inversion, was die Permutation $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ in obiger Formel betrifft, womit sich dann das Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ergibt... So, und nun noch ein bißchen elementare Kombinatorik, und die Formel ist fertig... Augenzwinkern

04.06.2010, 11:18

Ehos

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@Mystic
Deine Beweisvariante hat den Vorteil, dass man ohne den Laplaceschen Entwicklungssatz auskommt. Der Nachteil ist, dass man etwas mehr nachdenken muss als bei meiner Variante.

04.06.2010, 12:06

Mystic

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Zitat:

Original von Ehos
@Mystic
Deine Beweisvariante hat den Vorteil, dass man ohne den Laplaceschen Entwicklungssatz auskommt. Der Nachteil ist, dass man etwas mehr nachdenken muss als bei meiner Variante.

Naja, von Vor- oder Nachteil würde ich da nicht unbedingt sprechen, ich denke 9 von 10 Leuten, denen diese Aufgabe vorgelegt wird, würden es so wie du mit einer induktiven Rückführung mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungsatzes angehen, insoferne ist das wohl der naheliegendste Weg... Was du als Nachteil bei meinem Weg siehst, würde ich aus der Sicht eines Vollblutmathematikers (natürlich nicht des Studierenden!) jetzt eher als Vorteil sehen: Dass man nicht einfach stur etwas herunterrechnet, sondern zwischendurch auch etwas überlegen muss... Big Laugh

04.06.2010, 13:36

Mystic

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Hier noch eine andere Möglichkeit, wie ein Profi die Aufgabe sogar im Kopf (!) lösen kann, leider ebenfalls nicht unbedingt zur Nachahmung empfohlen...

Man muss dazu a durch die Variable x ersetzen, woduch die Determinante offensichtlich zu einem normierten Polynom p(x) vom Grad 2n wird... Nun ist es aber so, und das ist der nichttriviale Teil an der Sache, dass bei jeder Ersetzung von x durch eine Zahl, für welche der Rang r der zugrundeliegenden Matrix dann < n ist, man eine Nullstelle von p(x) erhält und zwar von der Vielfachheit mindestens n-r... Ersetzt man aber für unsere Matrix x durch b oder -b, so ist der Rang der resultierenden Matrix offensichtlich n, da alle Zeilen der "unteren Hälfte" Vielfache von gewissen Zeilen der "oberen Hälfte", aber die Zeilen der "oberen Hälfte" lin.ua. sind... Da ein Polynom vom Grad 2n nicht mehr als 2n Nullstellen haben kann (jede mit ihrer Vielfachheit gezählt), sind die Vielfachheiten von b und -b sogar gleich n und man erhält

$\begin{eqnarray*} p(x)=(x-b)^n(x+b)^n = (x^2-b^2)^n \end{eqnarray*}$

Durch Einsetzen von x=a ergibt sich dann der gesuchte Wert der Determinante zu

$\begin{eqnarray*} (a^2-b^2)^n \end{eqnarray*}$

wie behauptet...

Edit: Ein ganz elementarer Weg - vermutlich sogar der einfachste Zugang zur Aufgabe - besteht auch noch darin, dass man durch "elmentare Matrixumformungen" alle b's unterhalb der Hauptdiagonale beseitigt, was ja den Wert der Determinante nicht verändert, und dann das Produkt der Hauptidagonalelemnte nimmt... Nur kommen dann leider - wenngleich triviale - Fallunterscheidungen ins Spiel, was die Sache etwas unschön macht...

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