Differentialgeometrie

03.06.2010, 20:32	FaustFrankenstein	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgeometrie Meine Frage: Ok, folgende Aufgabe Es sei I ein offenes Intervall und $\begin{eqnarray} r:I \to \Re^2 \end{eqnarray}$ eine Parametrisierung einer glatten, ebenen, orientierten Kurve in der Halbebene {(x,z): x>0}. Zeigen Sie, dass die Drehfläche $\begin{eqnarray} S=\{(r_1(t)cos(\theta),r_1(t)sin(\theta),r_2(t):t \in I, \theta \in \Re \} \end{eqnarray}$ eine reguläre Fläche ist, und dass sich die t-Koordinatenlinien (Meridianen) und die $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ Koordinatenlinien ( Parallelen) orthogonal schneiden. Skizzieren Sie die Fläche. Meine Ideen: Dass es sich hier um eine reguläre Fläche handelt, also glatt ist, Homöomorphie und df Rang 2 hat, wobei f die Parametrisierung $\begin{eqnarray} f=(r_1(t)cos(\theta),r_1(t)sin(\theta),r_2(t)) \end{eqnarray}$ ist (wählt man doch natürlicherweise so, oder?), sieht man relativ schnell, da die Kurve r glatt ist, cos, sin glatt sind, Kompositionen die Glattheit erhalten, Homöomorphie, also eine Bijektion ebenfalls aus der entsprechenden Komposition folgt und df leicht gebildet und Rang 2 gezeigt werden kann. Skizzieren ist auch klar. Aber wie geh ich das mit den Koordinatenlinien an? Ich verstehe nicht, wie ich die gesondert betrachten kann, so dass ich evtl. mittels eines Skalarprodukt die Orthogonalität zeigen könnte.
04.06.2010, 10:54	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegeben ist die Fläche $\begin{eqnarray} \vec x (t, \theta)=\begin{pmatrix} x_1(t, \theta) \\ x_2(t, \theta) \\ x_3(r, \theta) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} r_1(t) \cos(\theta) \\ r_1(t) \sin(\theta) \\ r_2(t)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Du hast die beiden Flächenparameter $\begin{eqnarray} t, \theta \end{eqnarray}$ . Diese entsprechen z.B. dem Breitengrad $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ und Längengrad $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ auf der Erdoberfläche. Ein Wanderer könnte auf der Erdeoberfläche z.B. in Richtung Breiten- oder Längengrad gehen. Ebenso kann ein Käfer auf der o.g. Fläche z.B. in t-Richtung oder in $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ -Richtung krabbeln. Wir berechnen jetzt die Tangentialvektoren in t-Richtung und $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ -Richtung. Dies sind gewissermaßen die Geschwindigkeitsvektoren, wenn der Käfer in t-Richtung bzw. in $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ -Richtung krabbelt. Man erhält diese Tangentialvektoren durch Differenzieren der oben gegebenen Fläche nach t bzw. $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \frac{\partial \vec x}{\partial t}=\begin{pmatrix} \frac{\partial r_1}{\partial t} \cos(\theta) \\ \frac{\partial r_1}{\partial t} \sin(\theta) \\ \frac{\partial r_2}{\partial t}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{\partial \vec x}{\partial \theta} =\begin{pmatrix} -r_1(t) \sin(\theta) \\ r_1(t) \cos(\theta) \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Offensichtlich verschwindet das Skalarprodukt dieser beiden Tangentialvektoren, womit bewiesen ist, dass sich die t-Koordinatenlinien und die $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ -Koordinatenlinien senkrecht schneiden. Man könnte natürlich für die gleiche Fläche auch andere Parameter finden, wo sich die Koordinatenlinien nicht senkrecht schneiden.
05.06.2010, 22:41	FaustFrankenstein	Auf diesen Beitrag antworten »
Logo, leuchtet ganz und gar ein. Kann gar nicht anders sein und hätte selbst drauf kommen müssen. Vielen Dank Dir dafür. Bei weiteren Fragen zur Differentialgeomtrie sollte ich mich wohl direkt an Dich wenden .

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