Summe von einem Produkt aus Summen vereinfachen

03.06.2010, 22:58	Hamsterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Summe von einem Produkt aus Summen vereinfachen Hi, ich hab eine kleine, aber dringende Frage =) Kann man diese Summe zusammenziehen, also sozusagen ausmultiplizieren?: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i,j}(\sum\limits_ka_{ik}^2 \cdot \sum\limits_kb_{kj}^2) \end{eqnarray}$ . Das ganze brauch ich für die Herleitung, dass für die Norm $\begin{eqnarray} \|\|A\|\|:=\sqrt{\sum\limits_{ij}a_{ij}^2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} A = (a_{ij}) \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \|\|AB\|\| \leq \|\|A\|\| \cdot \|\|B\|\| \end{eqnarray}$ . Das ganze soll mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung gemacht werden. Weiter bin ich bisher leider nicht, da ich nicht weiß, wie oder ob man diese Summe vereinfachen kann. LG
03.06.2010, 23:11	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Interpretier diese Norm als die Standard euklidische 2-Norm im R^{2n}, dabei kannst du die Cauchy-Schwarz ungleichung doch auf diese Ausdrücke direkt loslassen. Schreibe dir dazu allen nötige daneben, dann wirst du es hoffentlich sehen. mfg.
03.06.2010, 23:18	Hamsterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmm weiß grad nicht so genau was du meinst ^^ ich hab das mir jetzt so gedacht: $\begin{eqnarray} AB = (c_{ij}) = \sum\limits_ka_{ik}b_{kj} \end{eqnarray}$ . So das dann in die Norm einsetzen ergibt: $\begin{eqnarray} \|\|AB\|\| = \sqrt{\sum\limits_{i,j}(\sum\limits_ka_{ik}b_{kj})^2} \end{eqnarray}$ . Daraf dann Cauchy-Schwarz anwenden: $\begin{eqnarray} \leq \sqrt{\sum\limits_{i,j}(\sum\limits_ka_{ik}^2 \cdot \sum\limits_kb_{kj}^2} \end{eqnarray}$ . So und da komm ich jetzt nicht weiter. Da aber am Ende ja rauskommen muss: $\begin{eqnarray} \sqrt{\sum\limits_{ik}a_{ik}^2} \cdot \sqrt{\sum\limits_{kj}b_{kj}^2} = \|\|A\|\| \cdot \|\|B\|\| \end{eqnarray}$ dachte ich mir, dass man diese Summe zusammenziehen kann und bei der ersten lässt man das j weg und bei der zweiten das i, weil das hinter dem Summenzeichen ja gar nicht vorkommt. (???)

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