Konvergenzbereich bestimmen

04.06.2010, 11:28

bandchef

Konvergenzbereich bestimmen

Hi Leute!

Ich soll von folgender Reihe den konvergenzbereich bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty kx^{k-1} \end{eqnarray*}$ ich hab dann erstmal Substituiert und danach das Quotientenkriterium angwendet.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (k+1)x^k \Rightarrow q=\lim_{k \to \infty}\frac{(k+2)x^{k+1}}{(k+1)x^k}=\lim_{k \to \infty}\frac{k+2}{k+1}*\frac{x^{k+1}}{x^k}=\lim_{k \to \infty}\frac{k+2}{k+1}*x =1x \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun aber den Konvergenzradius bestimmen möchte sieht das so aus:

$\begin{eqnarray*} r=\lim_{k \to \infty}\frac{1}{q}=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

So, und jetzt hab ich einfach das Problem, dass ich kein k mehr hab das ich gegen Unendlich laufen lassen kann... Was mache ich falsch?

04.06.2010, 11:36

klarsoweit

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RE: Konvergenzbereich bestimmen

Zitat:

Original von bandchef
$\begin{eqnarray*} r=\lim_{k \to \infty}\frac{1}{q}=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Hier wirfst du irgendwelche Formeln durcheinander. Für die Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~a_k \cdot x^k \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} r = \lim_{k \to \infty}~\frac{a_k}{a_{k+1}} \end{eqnarray*}$ .

Im übrigen mußt du nach der Substitution die Summe bei k=0 anfangen lassen. Augenzwinkern

04.06.2010, 12:04

bandchef

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Es ist doch egal, ob ich erst das Quotientenkriterium anwende und dann für den Radius quasi 1 durch das Ergebnis des Quotientenkriterium rechne, oder ob ich quasi für den Radius gleich sozusagen das invertierte Quotientenkriterium mache, oder?

Warum muss ich nach einer Subs. bei 0 anfangen? Was mache ich wenn die Ausgangssumme schon bei 0 anfängt und trotzdem subs. muss? Auch wieder bei 0 anfangen?

04.06.2010, 12:21

bandchef

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Ich hab jetzt mal die Berechnung des Konvergenzradius so durchgeführt wies die Formel sagt. Jetzt sieht's so aus:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty kx^{k-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty (k+1)x^k \Rightarrow r=\lim_{k \to \infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}=\lim_{k \to \infty}\frac{(k+1)x^k}{(k+2)x^{k+1}}=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Und mein Grenzwert soll nun 1/x sein, oder wie? Das ist aber laut Lösung falsch...

04.06.2010, 14:32

klarsoweit

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Zitat:

Original von bandchef
Warum muss ich nach einer Subs. bei 0 anfangen? Was mache ich wenn die Ausgangssumme schon bei 0 anfängt und trotzdem subs. muss? Auch wieder bei 0 anfangen?

Du machst doch mit der Substitution irgendwie eine Indexverschiebung. Entsprechend müssen auch die Grenzen der Summe angepaßt werden.

Zitat:

Original von bandchef
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty (k+1)x^k \Rightarrow r=\lim_{k \to \infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}=\lim_{k \to \infty}\frac{(k+1)x^k}{(k+2)x^{k+1}}=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Und mein Grenzwert soll nun 1/x sein, oder wie? Das ist aber laut Lösung falsch...

Wie schon gesagt: du wendest Formeln falsch an.
Erstmal muß es $\begin{eqnarray*} r=\lim_{k \to \infty}\frac{a_k}{a_{k+1}} \end{eqnarray*}$ heißen.
Und dann ist das a_k der Faktor vor dem x^k.

05.06.2010, 12:29

bandchef

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Ich wende also $\begin{eqnarray*} r=\lim_{k \to \infty}\frac{a_k}{a_{k+1}} \end{eqnarray*}$ nur auf $\begin{eqnarray*} (k+1) \end{eqnarray*}$ an oder wie? Und was passiert dann mit dem x^k? Das lass ich weg oder wie? Das interessiert mich nicht mehr?

07.06.2010, 08:43

klarsoweit

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Zitat:

Original von bandchef
Ich wende also $\begin{eqnarray*} r=\lim_{k \to \infty}\frac{a_k}{a_{k+1}} \end{eqnarray*}$ nur auf $\begin{eqnarray*} (k+1) \end{eqnarray*}$ an oder wie?

Ja.

Zitat:

Original von bandchef
Und was passiert dann mit dem x^k? Das lass ich weg oder wie? Das interessiert mich nicht mehr?

Wieder ja. Siehe auch meinen ersten Beitrag.

07.06.2010, 13:54

Kühlkiste

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Obacht!

bandchef scheint recht beratungsresistent zu sein wie folgender Thread belegt:

matheboard.de/thread.php?threadid=419225

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