Wir betrachten den Q-Vektorraum V = Abb(M,Q)

04.06.2010, 17:30	Geolin	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir betrachten den Q-Vektorraum V = Abb(M,Q) Meine Frage: Meine Aufgabe ist folgende: Sei M eine Menge. Wir betrachten den Q-Vektorraum V = Abb(M,Q). Für eine Teilmenge N von M bezeichne N die Abbildung N(m) = 1 für m aus N N(m) = 0 für m nicht aus N (i) Seien N_1 und N_2 zwei Teilmengen von M mit nichtleerem Durch- schnitt und {X_N1 , X_N2, X_(N1 vereinigt mit N2)} linear abhängig. Zeigen Sie, dass N1 Teilmenge von N2 ist oder N2 teilmenge von N1 ist. (ii) Sei M endliche Menge. Geben Sie eine Basis des Q-Vektorraums V = Abb(M,Q) an. Begründen Sie Ihre Antwort! (iii) Beweisen Sie, dass der Q-Vektorraum V = Abb(N,Q) keine abzähl- bare Basis besitzt. Meine Ideen: ich habe bisher nur (i) gelöst und hoffe das ist richtig so: X_N1 , X_N2, X_(N1 vereinigt mit N2) sind lin. abh. <=> es existieren a,b aus R sodass: aX_N1 + b X_N2 = X_(N1 vereinigt mit N2). 1.Fall: m ist aus N1, m ist aus N2 =>a+b=1 2.Fall: m ist aus N1, m ist nicht aus N2 =>a=1 3.Fall: m ist nicht aus N1, m ist aus N2 =>b=1 4.Fall: m ist nicht aus N1, m ist nicht aus N2 => 0=0 Fall 1 steht offensichtlich im Widerspruch zu Fall 2 und 3. D.h. Entweder können nur Fall 1 und 4 auftreten oder es können nur Fall 2,3 und 4 auftreten. Bedingung: N1 geschnitten N2 ist ungleich der leeren Menge. => Es existiert mindestens ein m mit: m ist Element von N1 und m ist Element von N2. Demnach können nur Fall 1 und 4 auftrefen. D.h. N1 ist Teilmenge von N2 oder N2 ist Teilmenge von N1. ich hoffe die erste Teilaufgabe ist so richtig gelöst. Ich mache mich mal an (ii) und (iii)
04.06.2010, 17:45	Geolin	Auf diesen Beitrag antworten »
zu (ii) ich habe keine richtige Idee aber würde spontan vermuten dass eine Basis aus allen Elementen aus V besteht, die untereinander nicht lin. abh. sind.
05.06.2010, 15:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
(i) ist in etwa richtig, kann man aber bestimmt präziser ausdrücken. (ii) Eine Basis von V ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem, insoweit ist deine spontane Vermutung "halb" richtig. Es gibt "ziemlich viele" Abbildungen von M nach V, vielleicht hilft dir der Hinweis, dass jedes Element m in M genau ein Bild f(m) in V haben muss. Denke mal darüber nach, wieviele Bilder infrage kommen. (iii) Wenn du die Antwort auf (ii) hast, ist das auch schon fast selbstverständlich.
06.06.2010, 16:36	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey , ich hänge an der gleichen Aufgabe und habe zur gegebenen Lösung eine Frage. Beim ersten Fall würde man ja praktisch folgern können,dass beide Teilmengen gleich sind.Da wir aber von echten Teilmengen , also N1 ist echte Teilmenge von N2 oder umgekehrt reden,verstehe ich nicht,wieso wir das mso als Beweis stehen lassen können.Wir müssten doch im Endeffekt noch zeigen, dass eine dewr beiden Teilmengen größer ist als die Andere. Und der vierte Fall gibt mir doch über die Teilmengen-Beziehungen sowieso keine Auskunft.Denn m ist weder in Nq1, noch in N2, und auch nicht in der Verinigung drin.Nun können wir doch aber wieder keine Aussage darüber treffen, wie der Durchschnitt dieser beiden Teilmengen aussieht,weil wir keine Informationen darüber haben, wie sie aussehen.Daraus einfach den Schluss zu ziehen, dass eine Teilmenge der Anderen ist verstehe ich noch nicht so ganz. Kann mir das jemand erklären? Zu (ii) Reicht es nicht für die Basis eins anzugeben , welches 0 wird und eines, welches 1 wird?
06.06.2010, 18:21	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei (i) geht es um Teilmenge, von echter Teilmenge ist nicht die Rede, also geht das so. Den "4. Fall" kann man weglassen (damit wird der Beweis schon etwas "präziser".) Übrigens darf man sich nicht ein m wählen und damit a und b berechnen, sondern man muss Abbildungen linear kombinieren, d.h. man arbeitet z.B. mit $\begin{eqnarray} \{m\in M\|X_{N_1}=1\}=N_1\subset M \end{eqnarray}$ Zu (ii) . Eine Basis von Abb(M,Q) besteht aus Abbildungen (das ist trivial). Eine Abbildung wird beschrieben durch $\begin{eqnarray} \{f(m)\in \mathbb Q\|m\in M\} \end{eqnarray}$ . Da verstehe ich noch nicht, was du meinst mit "eins ... welches 0 wird und eines, welches 1 wird" . (Mein Gefühl sagt mir aber, dass du auf dem richtigen Weg bist.)
06.06.2010, 20:46	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey , also in (i) geht es sehr wohl um echte Teilemengen.Geolin hat die Aufgabe nur etwas falsch aufgeschrieben. Statt dem Zeichen für Teilemnge hat er / sie einfach Teilmenge geschrieben. Im Originalwort sieht die Aufgabenstellung wie folgt aus : (i) Seien $\begin{eqnarray} N_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} N_2 \end{eqnarray}$ zwei Teilmengen von M mit nichtleerem Durchschnitt und { $\begin{eqnarray} x_N1 , x_N2 , x_N1 \cup x_N2 \end{eqnarray}$ } linear abhängig. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} N_1 \subset N_2 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} N_2 \subset N_1 \end{eqnarray}$ gilt. Und deshalb habe ich mit dem ersten Fall etwas zu kämpfen.Denn man müsste doch auch noch zeigen oder erkenntlich machen, dass eine der beiden Teilmengen dann auch wirklich größer ist oder nicht? Und zu (ii) Da meinte ich, das die Abbildung ja praktisch nur die Elemente 1 und 0 hat. Meine Basis muss ja aus linear unabhängigen Vektoren bestehen,welche ein Erzeugendensystem des gewünschten Vektorraums bilden. Ich hatte damit gemeint, dass ich also nur ein f(m)= 1 und ein g(m)= 0 bräuchte. Allerdings ist mir oder besser gesagt meine Kollegin mittlerweile aufgefallen, dass man mit a $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ 1 + b $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ 0 = 0 ja keine linear unabhängigen Vektoren hätte,welche auch keine Basis mehr erstellen würden. Aber es reicht ja leider nicht, nur g(m) = 0 zu wählen. Also würde ja nur noch übrig bleiben, f(m)= 1 als unseren einzigen Vektor für die Basis zu nehmen, denn dieser ist nur mit a = 0 wieder 0, also linear unabhängig und mit ihm kommt man auch auf die 0 und auf die 1,also wäre es auch ein Erzeugendensystem.Aber reicht dieser eine Vektor aus oder ist,was ich da hingeschrieben habe, kompletter Schmarn? Danke für deine Antwort und zukünftige Antworten. ^^
Anzeige

08.06.2010, 13:36	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu (i) . Dein Problem mit $\begin{eqnarray} N_1=N_2 \end{eqnarray}$ ist ganz einfach zu lösen. Es gilt $\begin{eqnarray} N_1=N_2\Rightarrow X_{N_1}=X_{N_2}\Rightarrow 1\cdot X_{N_1}-1\cdot X_{N_2}=0 \end{eqnarray}$ . Wenn schon $\begin{eqnarray} X_{N_1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X_{N_2} \end{eqnarray}$ linear abhängig sind, ist es auch jede größere Menge, also insbesondere $\begin{eqnarray} X_{N_1},X_{N_2},X_{N_1\cup N_2} \end{eqnarray}$ . Das sieht man auch so : $\begin{eqnarray} 1\cdot X_{N_1}-1\cdot X_{N_2}+0\cdot X_{N_1 \cup N_2}=0 \end{eqnarray}$
08.06.2010, 13:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu (ii) Ich hatte schon darauf hingewiesen, dass man mit Abbildungen $\begin{eqnarray} f:M\to \mathbb Q \end{eqnarray}$ arbeiten muss und nicht mit Bildern eines einzelnen Elements $\begin{eqnarray} m\in M \end{eqnarray}$ . Was soll denn z.B. f(m)=1 heissen ??? Welches Element m ist gemeint ??? Oder sind alle m gemeint ??? Tipp: Probiert's mal mit den $\begin{eqnarray} \|M\| \end{eqnarray}$ "m-Abbildungen" $\begin{eqnarray} f_m\in Abb(M, \mathbb Q) \end{eqnarray}$ , die man wie folgt definiert : $\begin{eqnarray} m \in M \Rightarrow f_m(n)=1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} m=n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_m(n)=0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} m \ne n \end{eqnarray}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »