Analysis totale Differenzierbarkeit

04.06.2010, 17:56

kuno

Analysis totale Differenzierbarkeit

Meine Frage:
Wo ist die Abbildung f: $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ^n -> $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ^m, f(x) = Ax+b *||x|| für A Element Mat(m,n, $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ), b Element $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ^m total differenzierbar? Bestimmen Sie dort das totale Differential.

Meine Ideen:
Leider habe ich überhaupt keine Ahnung unglücklich

06.06.2010, 10:55

JuPee

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Also ich muss die Aufgabe auch lösen und ich denke, dass man die Funktion auf Stetigkeit untersuchen muss, weil an den Stellen, wo die Funktion nicht stetig ist, ist sie auch nicht total differenzierbar.
Aber wie untersuche ich die Funktion auf Stetigkeit?

06.06.2010, 12:05

JuPee

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Ich habe die Funktion mal umgestellt:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \begin{pmatrix} a_{11} x_1 + ... + a_{1n} x_n \\ ... \\ a_{m1} x_1 + ... + a_{mn} x_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 ||x|| \\ ... \\ b_m ||x|| \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)= \begin{pmatrix} a_{11} x_1 + ... + a_{1n} x_n + b_1 ||x|| \\ ... \\ a_{m1} x_1 + ... + a_{mn} x_n + b_m ||x||\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_1,...,x_n) = (a_{11} x_1 + ... + a_{1n} x_n + b_1 (x_1^{2} + ... + x_n^{2})^{\frac{1}{2} } , ... , a_{m1} x_1 + ... + a_{mn} x_n + b_m (x_1^{2} + ... + x_n^{2})^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

Wahrscheinlich muss ich jetzt "jede" Funktion auf Stetigkeit untersuchen, aber wie? ^^

06.06.2010, 12:13

GastMathematiker

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Zitat:

Original von JuPee
Also ich muss die Aufgabe auch lösen und ich denke, dass man die Funktion auf Stetigkeit untersuchen muss, weil an den Stellen, wo die Funktion nicht stetig ist, ist sie auch nicht total differenzierbar.
Aber wie untersuche ich die Funktion auf Stetigkeit?

Nein, das bringt nichts, steig ist die Funktion, da sowohl Ax als lineare Fkt als auch die Norm stetig ist.

06.06.2010, 12:19

JuPee

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Sondern worauf muss ich sie untersuchen?

06.06.2010, 12:58

GastMathematiker

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Zitat:

Original von JuPee
Sondern worauf muss ich sie untersuchen?

Naja auf totale Diffbarkeit. Dazu sollte man sich vielleicht zuerst mal die partielle Diffbarkeit ansehen.

06.06.2010, 13:09

JuPee

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Sind aber die partiellen Ableitungen stetig, dann ist doch die Funktion total differenzierbar oder?

Die partiellen Ableitungen müssten doch

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_1} = (a_{11} + b_1 x_1 (x_1^{2} + ... + x_n^{2})^{-\frac{1}{2}} , ... , a_{m1} + b_m x_1 (x_1^{2} + ... + x_n^{2})^{-\frac{1}{2}}) \end{eqnarray*}$

...

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_n} = a_{1n} + b_1 x_n (x_1^{2} + ... + x_n^{2})^{-\frac{1}{2}} , ... , a_{m1} + b_m x_n (x_1^{2} + ... + x_n^{2})^{-\frac{1}{2}}) \end{eqnarray*}$

sein, oder?

Aber jetzt sind wir wieder an dem Punkt, wie geht das mit der Stetigkeit!? ^^

06.06.2010, 13:33

system-agent

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Der gute alte Satz: Kompositionen stetiger Funktionen sind stetig.

07.06.2010, 17:59

Graf_Love

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Hm. Demnach sind ja alle partiellen Ableitungen stetig, woraus wiederum folgen würde, dass f an allen Stellen total diff'bar ist. Ist das der Fall?

07.06.2010, 18:09

sergej88

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Hallo,

vergesst nicht, dass die Wurzelfunktion bei 0 nicht diffbar ist. Also ist es auch nicht die Norm. Dh. die Ableitungen gelten bisher für x ungleich 0

mfg

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