Stationäre Punkte

04.06.2010, 18:22

DuoLemma

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Stationäre Punkte

Meine Frage:
Hallo Kollegen!
Ich scheitere zu meinem Entsetzen an einer Aufgabe mit stationären Punkten. Die Angabe: Bestimmen Sie alle stationären Punkte der Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x,y) = x^{2}(3x-3)-y^{2}(y^{2}-3)-9 \end{eqnarray*}$
und prüfen Sie, ob es sich um Minima, Maxima oder Sattelpunkte handelt.

Meine Ideen:
Ist ja anfangs nicht so schwer:

Gradient:
$\begin{eqnarray*} gradf = \begin{pmatrix} 9x^{2}-6x \\ 6y-4y^{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hessematrix:
$\begin{eqnarray*} Hf = \begin{pmatrix} 18x-6 & 0 \\ 0 & -12y^{2}+6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gradient gleich 0 setzen und ausrechnen:
$\begin{eqnarray*} 9x^{2}-6x=0 \Rightarrow 3x(3x-2)=0 \Rightarrow x_1=0 \wedge x_2 = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4y^{3}+6y=0 \Rightarrow 2y(3-2y^{2}) = 0 \Rightarrow y_1 = 0 \wedge y_2 = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

Soweit so gut. Doch nun sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr, so sind meine stationären Punkte? Bei meinen bisherigen Gleichungen war im Gradient sowohl x als auch y in beiden partiellen Ableitungen vorhanden, da hat es genügt x bzw. y einzusetzen, heraus kam das entsprechende y bzw. x und der Punkt war da. Was mache ich hier??

Danke im Vorraus!

04.06.2010, 18:37

Cel

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Alles so weit gut, wie ich es sehe. Jetzt musst du einfach alle Kombinationen der x- und y-Werte bilden, die es gibt und in die Hessematrix einsetzen.

04.06.2010, 18:46

Mystic

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Ja, wobei die Schreibweise $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ statt richtig $\begin{eqnarray*} y_{2,3} \end{eqnarray*}$ ziemlich irreführend ist...

04.06.2010, 18:49

DuoLemma_

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Alle Kombinationen? Das wäre rein theoretisch nicht unlogisch, es kommt mir nur seltsam vor...

$\begin{eqnarray*} E_1 = \begin{pmatrix} 0, & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_2 = \begin{pmatrix} 0, & \sqrt{\frac{3}{2}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_3 = \begin{pmatrix} 0, & -\sqrt{\frac{3}{2}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_4 = \begin{pmatrix} \frac{2}{3}, & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_5 = \begin{pmatrix} \frac{2}{3}, & \sqrt{\frac{3}{2}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_6 = \begin{pmatrix} \frac{2}{3}, & -\sqrt{\frac{3}{2}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

04.06.2010, 18:51

Mystic

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Bingo!

Freude

(War das wirklich so schwer?)

04.06.2010, 19:47

DuoLemma.

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Nein

Augenzwinkern

ABER: Das war ja nur Aufgabe a). Aufgabe b) passt jetzt war nicht mehr zum Titel stationäre Punkte aber ich führe sie wenn es recht ist gleich hier an:

Berechnen Sie nun zur genannten Funktion f(x,y) das Taylorpolynom zweiten Grades im Punkt [1,1] ohne Restglied

Ich bitte um Gehilfe auf den ersten Schritten:

Taylor zweiten Grades für die Funktion wobei ich mir nicht sicher bin wie ich da mit (x-1) bzw (x-1)^2 umgehe...

$\begin{eqnarray*} T_f(x,y) = f(x,y) + f'(x,y)\begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} f''(x,y)\begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix}^2 \end{eqnarray*}$

f'(x,y) = Gradient, f''(x,y) = Hessematrix. Wenn ich in beide meinen Punkt [1,1] einsetze erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} Grad(1,1) = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Hesse(1,1) = \begin{pmatrix} 12 & 0 \\ 0 & -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hm, und nun?

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04.06.2010, 19:53

DuoLemma,

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Eine Frage am Rande noch dazu: Ich habe bis jetzt zwei Möglichkeiten gehört, von einem stationären Punkt zu bestimmen ob es ein Minimum, Maximum bzw. ein Sattelpunkt ist: Mittels Determinante oder per Definitheit der Hessematrix.

Welches Verfahren kann ich wann anwenden bzw. welche Unterschiede gibt es?

05.06.2010, 08:50

Mystic

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Eine Formel wie diese hier

Zitat:

Original von DuoLemma.
$\begin{eqnarray*} T_f(x,y) = f(x,y) + f'(x,y)\begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} f''(x,y)\begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix}^2 \end{eqnarray*}$

ist einfach nur sinnlos und zeigt mit einem Schlag, das du den formalen Aufbau einer Taylorreihe in mehreren Variablen überhaupt nicht durchschaut hast... geschockt

geschockt

Mit deine Bezeichnungen müsste das nämlich ganz anders, nämlich etwa so aussehen:

$\begin{eqnarray*} T_f(x,y) = f(1,1) + \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix}^T grad(1,1) + \frac 12\begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix}^T Hesse(1,1)\begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und das hat mit dem, was du oben geschrieben hast, schon fast nichts mehr gemeinsam...

Zitat:

Original von DuoLemma.
Eine Frage am Rande noch dazu: Ich habe bis jetzt zwei Möglichkeiten gehört, von einem stationären Punkt zu bestimmen ob es ein Minimum, Maximum bzw. ein Sattelpunkt ist: Mittels Determinante oder per Definitheit der Hessematrix.

Ich kann jetzt nur raten, aber ich vermute mal, du meinst die zwei Verfahren der Feststellung der Definitheit der Hessematrtix, nämlich einerseits über die Eigenwerte und andererseits über die Hauptminoren...

05.06.2010, 15:48

DuoLemma|

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Zitat:

und zeigt mit einem Schlag, das du den formalen Aufbau einer Taylorreihe in mehreren Variablen überhaupt nicht durchschaut hast...

Richtig, das habe ich auch nicht behauptet verwirrt

verwirrt

Vielmehr habe ich aus der eindimensionalen Form zu folgern versucht, wie es mehrdimensional aussehen könnte. Ich habe mir die allgemeine Formel der Taylorreihe mit mehreren Variabeln schon angesehen, aber mir erschließt sich nicht wie ich vorgehe.

Was ist

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix}^T \end{eqnarray*}$

und wie berechne ich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix}^T grad(1,1) \end{eqnarray*}$

?
lg

05.06.2010, 16:08

DuoLemma|

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Sorry, das T steht natürlich für transponiert.

Damit müsste die Lösung wie folgt lauten:

$\begin{eqnarray*} Tf(1,1) = -7+ \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} 12 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Tf(1,1) = -7+3x+2y + 6x^2 + 3y^2 \end{eqnarray*}$

Offensichtlich ist das falsch, die Funktion sieht gezeichnet überhaupt nicht wie eine Nährung von f(x,y) an [1,1] aus unglücklich

unglücklich

05.06.2010, 19:41

Mystic

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Zitat:

Original von DuoLemma|
Offensichtlich ist das falsch, die Funktion sieht gezeichnet überhaupt nicht wie eine Nährung von f(x,y) an [1,1] aus unglücklich

unglücklich

Au weia, wenn du überall x und y schreibst statt richtig (x-1) und (y-1) ist das ja auch kein Wunder... geschockt

geschockt

05.06.2010, 20:36

DuoLemma|

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Ach Gott, nein...
Forum Kloppe

Forum Kloppe

Jetzt komme ich auf

$\begin{eqnarray*} T_f(1,1) = 6x^2-3x+3y^2-y-12 \end{eqnarray*}$

Das sieht genauso falsch aus.

So langsam gebe ich auf, ich kanns einfach nicht unglücklich

unglücklich

05.06.2010, 22:12

Mystic

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Zitat:

Original von DuoLemma|
Ach Gott, nein...
Forum Kloppe

Forum Kloppe

Jetzt komme ich auf

$\begin{eqnarray*} T_f(1,1) = 6x^2-3x+3y^2-y-12 \end{eqnarray*}$

Das sieht genauso falsch aus.

So langsam gebe ich auf, ich kanns einfach nicht unglücklich

unglücklich

Na komm, du sollst, wie ich oben geschrieben habe, in

$\begin{eqnarray*} -7+3x+2y+6x^2+3y^2 \end{eqnarray*}$

jedes x durch (x-1) und jedes y durch (y-1) ersetzen...Wo ist da das Problem? verwirrt

verwirrt

Zeige mir mal deine Rechnung dazu, ich komm da zum Schluß auf was ganz anderes, wobei ja überhaupt die Frage ist, ob man es danach noch "ausmultiplizieren" soll, denn schließlich geht es ja um eine Näherung in (1,1)...

06.06.2010, 13:03

DuoLemma|

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Ich habs so berechnet:

$\begin{eqnarray*} Tf(1,1) = -7+ \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} 12 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wobei

$\begin{eqnarray*} -7 \end{eqnarray*}$
Die Funktion an der Stelle [1,1] ist

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
der Gradient an der Stelle [1,1] ist und

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 12 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die Hessematrix an der Stelle [1,1] ist.

Die Gleichung vereinfacht ergibt bei mir

$\begin{eqnarray*} Tf(1,1) = -7 +3x+2y-5 + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} 12x \\ 6y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und weiter

$\begin{eqnarray*} Tf(1,1) = -7 +3x+2y-5 + 6x^2-6x+3y^2-3y \end{eqnarray*}$

und schließlich

$\begin{eqnarray*} Tf(1,1) = 6x^2-3x+3y^2-y-12 \end{eqnarray*}$

Mir fällt da gerade ein Fehler auf, eigentlich müsste

$\begin{eqnarray*} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} 12 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} = 6x^2-12x+3y^2-6y+9 \end{eqnarray*}$

ergeben, wodurch sich das Ergebnis auf

$\begin{eqnarray*} Tf(1,1) = -7 +3x+2y-5 + 6x^2-12x+3y^2-6y+9 = 6x^2-9x+3y^2-4y-3 \end{eqnarray*}$

ändert.

06.06.2010, 13:56

Mystic

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Zitat:

Original von DuoLemma|
Die Gleichung vereinfacht ergibt bei mir

$\begin{eqnarray*} Tf(1,1) = -7 +3x+2y-5 + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} 12x \\ 6y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bei mir aber nicht, sondern richtig

$\begin{eqnarray*} Tf(1,1) = -7 +3x+2y-5 + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} 12(x-1) \\ 6(y-1) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und warum hast du wirklich den Ehrgeiz alle Klammerausdrücke mit (x-1) und (y-1) ausmultiplzieren zu wollen???...Streng genommen ist das dann gar nicht mehr das Taylorpolynom an der Stelle (1,1)...Schlimmer ist aber, dass du dich andauernd irgendwo verrechnest... unglücklich

unglücklich

06.06.2010, 14:35

DuoLemma|

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Zitat:

Bei mir aber nicht, sondern richtig

Das habe ich doch unten in meinem Beitrag ausgebessert, siehe

Zitat:

Mir fällt da gerade ein Fehler auf

Dann kommt bei dir das gleiche raus wie bei mir

$\begin{eqnarray*} T_f(1,1) = 6x^2-9x+3y^2-4y-3 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Und warum hast du wirklich den Ehrgeiz alle Klammerausdrücke mit (x-1) und (y-1) ausmultiplzieren zu wollen???...

Wir haben das immer aufgelöst geschockt

geschockt

Aber das heißt, es wäre auch vertretbar

$\begin{eqnarray*} Tf(1,1) = -7+ \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} 12 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

als Lösung stehen zu lassen?

06.06.2010, 14:55

Mystic

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Zitat:

Original von DuoLemma|
Aber das heißt, es wäre auch vertretbar

$\begin{eqnarray*} Tf(1,1) = -7+ \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} 12 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

als Lösung stehen zu lassen?

Nein, das wäre nicht vertretbar, wohl aber die Lösung in der Form

$\begin{eqnarray*} -7+3(x-1)+2(y-1)+6(x-1)^2+3(y-1)^2 \end{eqnarray*}$

Ich jedenfalls hätte keinen Einwand dagegen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.06.2010, 15:32

DuoLemma|

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Okay, dann danke ich recht herzlich und hake Taylorpolynome einmal ab.

Jetzt gehts weiter zur Differentialgleichung, seufz traurig

traurig

Danke nochmals und bis später! Augenzwinkern

Augenzwinkern

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