Volterra-Integralgleichung

04.06.2010, 19:20	frieder	Auf diesen Beitrag antworten »
Volterra-Integralgleichung Hallo. Vor: Volterra Integralgleichung $\begin{eqnarray} f(t)=g(t)+\int_0^1 k(t,s)f(s)ds \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} k: [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C} \end{eqnarray}$ stetig und k(s,t)=0 für $\begin{eqnarray} s \geq t, \parallel K^n \parallel \le \frac{M^n}{n!}, M=sup_{t \geq s} \|k(t,s)\| \end{eqnarray}$ Die Aufgabe besteht aus den Teilen: (I) Zeige, dass die Volterra-Integralgleichung eindeutig lösbar ist (II) Bestimme das Spektrum für K. Meine Ideen: (I) Für die Eindeutigkeit würde ich gerne den Satz von Neumann / Neumannsche Reihe anwenden: Die Integralgleichung ist nämlich genau dann eindeutig lösbar, wenn $\begin{eqnarray} \parallel K \parallel < 1 \end{eqnarray}$ und das ist genau dann der Fall, wenn $\begin{eqnarray} sup \|k(t,s)\| < 1 \end{eqnarray}$ . Hier weiß ich nicht weiter. Ist das eine Sackgasse? (II) Als Hinweis habe ich, dass ich das Spektrum direkt aus der Ungleichung $\begin{eqnarray} \parallel K^n \parallel \le \frac{M^n}{n!} \end{eqnarray}$ erhalten kann und 0 sein muss. Das blick ich nicht :-( Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar, frieder
05.06.2010, 17:13	akechi90	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die I solltest du beweisen, dass der entsprechende Operator $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ kompakt ist - das bekommst du mit dem Satz von Arzela-Ascoli hin. Danach kannst du die Fredholmsche Alternative anwenden. II Für den Spektralradius $\begin{eqnarray} \rho(K) \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \rho(K) = \lim_{n\to \infty}(\|\|K\|\|^n)^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray}$ . Damit sollte alles gesagt sein. Ich hoffe, ich konnte dir damit helfen. Gruß, Carsten

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