Bestimmen aller Untergruppen und Normalteiler

04.06.2010, 21:05

gonnabphd

Bestimmen aller Untergruppen und Normalteiler

Wenn ich folgende Aufgabe habe:

Sei $\begin{eqnarray*} Q = \{ E, -E, I, -I, J, -J, K, -K\} \end{eqnarray*}$ die Quaternionengruppe. Bestimmen Sie alle Untergruppen und alle Normalteiler von Q.

Gibt es da eine schöne, methodische Vorgehensweise? Oder muss ich da einfach mehr oder weniger zu jeder Teilmenge X die kleinste UG bilden, welche X enthält und anschliessend schauen, ob sie auch ein Normalteiler ist? verwirrt

Grüsse

04.06.2010, 21:17

jester.

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Du solltest auf jeden Fall die Sätze von Lagrange und Sylow anwenden, um da insgesamt etwas methodischer heranzugehen.
Zudem kann $\begin{eqnarray*} [G:U]=2\Rightarrow U\trianglelefteq G \end{eqnarray*}$ nützlich sein.
Ansonsten mache dir noch Gedanken über die Ordnungen der Elemente in der Quaternionengruppe.

04.06.2010, 21:36

gonnabphd

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Hmm, ok.

Zitat:

Du solltest auf jeden Fall die Sätze von Lagrange und Sylow anwenden

Lagrange ist bekannt, Sylow noch nicht.

Zitat:

Zudem kann $\begin{eqnarray*} [G:U]=2\Rightarrow U\trianglelefteq G \end{eqnarray*}$ nützlich sein.

Ja, das kenne ich auch. Freude

Zitat:

Ansonsten mache dir noch Gedanken über die Ordnungen der Elemente in der Quaternionengruppe.

$\begin{eqnarray*} o(E) = 1, o(-E) = 2, \text{ ansonsten ist die Ordnung bei allen 4} \end{eqnarray*}$

Das heisst, also schonmal, dass die von letzteren Elementen erzeugten Gruppen alle Normalteiler sind.

Nun gehe ich aber im Prinzip schon so vor, wie ich das oben beschrieben hatte?!

04.06.2010, 21:42

jester.

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Gut, Sylow ist hier ja auch fast mit Kanonen auf Spatzen. Lagrange sagt dir, dass die Untergruppenordnung ein Teiler der Gruppenordnung ist - und deine Kenntnis der Ordnungen der Gruppenelemente liefert dir die Existenz dieser Untergruppen für jeden Teiler der 8 (das hätte sonst Sylow getan - daher wird dieser Satz hier also nicht benötigt).
Also gehe die Ordnungen durch und kläre ab, welche Untergruppen es gibt und ob sie normal in Q sind.
Beachten solltest du noch folgendes: Mache dir klar, dass für ein Gruppenelement g gilt $\begin{eqnarray*} O(g)=4 \Rightarrow O(g^3)=4 \end{eqnarray*}$ , um etwas über die Anzahl der Untergruppen der Ordnung 4 zu erfahren.

$\begin{eqnarray*} \{1\}\trianglelefteq Q,\quad Q\trianglelefteq Q \end{eqnarray*}$ gebe ich dir vor. Big Laugh

04.06.2010, 22:02

gonnabphd

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \{1\}\trianglelefteq Q,\quad Q\trianglelefteq Q \end{eqnarray*}$ gebe ich dir vor. Big Laugh

Sehr gnädig! Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} | \langle -E \rangle | = 2 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \langle -E \rangle \trianglelefteq Q \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} K (-E) K^{-1} = K (-E) (-K) = K^2 = -E \end{eqnarray*}$ und genau das gleiche gilt auch für die anderen Elemente.

Dann gilt wie oben schon benutzt $\begin{eqnarray*} K^{-1} = -K \end{eqnarray*}$ (analoges gilt für alle restlichen Elemente).
Deshalb gibt es 3 weitere zyklische Untergruppen der Ordnung 4. Diese sind alle Normalteiler.

Kann man jetzt schon etwas darüber aussagen, ob es noch mehr U'Gruppen geben kann? Bzw. wie zeige ich, dass dies schon alle sind? Geht das bloss direkt?

04.06.2010, 22:11

jester.

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Ja, denn gäbe es mehr Untergruppen der Ordnung 4, so müsste es mehr Elemente der Ordnung 2 oder 4 geben, da eine Gruppe der Ordnung 4 stets abelsch ist, woraus folgt, dass sie zu $\begin{eqnarray*} C_4 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} C_2\times C_2 \end{eqnarray*}$ isomorph ist.
Also haben wir die Untergruppen alle gefunden und sie sind insbesondere allesamt normal in Q.

04.06.2010, 22:14

gonnabphd

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Ok, danke dir. Freude

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