Bilinearformen, Matrix, Diagonalgestalt, Basiswechsel

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Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »
Bilinearformen, Matrix, Diagonalgestalt, Basiswechsel
Meine Frage:
Hi alle zusammen,
ich hab mal wieder ne Frage =) Unser Prof hat schon wieder ein neues Thema angefangen und ich verstehs mal wieder nicht so ganz.
Hab hier ne Aufgabe und wollte Fragen, ob das so stimmt was ich gemacht hab.

Aufgabe:
V 3-dim -Vektorraum, Basis von V und eine Bilinearform von V mit der Matrix
.
Berechnen Sie die Matrix von in der Basis .

nächste Teilaufgabe:
eine symmetrische Bilinearform bzgl. der Standardbasis. Berechnen Sie eine zu A kongruente Matrix in Diagonalgestalt und den Basiswechsel.

Meine Ideen:
also zur ersten hab ich das so gemacht:
Die Basiswechselmatrix müsste ja dann sein oder? Ich nenne sie mal B.
Dann einfach gerechnet und fertig?

Zur b):
Da ist mir nix anderes eingefallen als charakteristisches Polynom ausrechnen, daraus Eigenwerte (1,-1,2) daraus Eigenvektoren und dann die in ne Matrix geschrieben, invertiert und dann verrechnen. Also nenne wir diese Matrix S. Dann hab ich da stehen:
.

Ist die Basiswechsel matrix die hier?

Vielen Dank schonmal für eure Antworten =)
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der ersten Aufgabe habe ich beim Drüberschauen keinen Fehler entdeckt, bei der zweiten dann allerdings schon.
Der Basiswechsel bei Bilinearformen muss so vollzogen werden, wie in der ersten Aufgabe: Mit der Transponierten der Basiswechselmatrix.
Um hier eine Orthogonalbasis zu finden (danach ist gefragt, wenn die Darstellungsmatrix der Bilinearform in Diagonalgestalt sein soll), solltest du einen symmetrischen Gauß-Algorithmus verwenden: Othonormalbasis / Orthogonalbasis
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ach man.... wie macht man denn das hier mit latex, also klammer auf, matrix, strich, matrix, klammer zu?
\begin{array}{ccc} nimmt er nich und auch nich \begin{matrix}... wie geht das hier?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

code:
1:
 \begin{pmatrix}\begin{array}{cc|cc}1&2&3&4 \\ 5&6&7&8 \end{array} \end{pmatrix} 


Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm komisch das meins net geklappt hat, als ich deins kopiert hatte gings nämlich beim ersten mal auf vorschau klicken auch nich... seltsam ^^ aber egal =)

Also wenn ich das jetzt nach deinem Verfahren mache (was ich übrigens so noch gar nicht kenne), dann müsste das doch so aussehen oder?




Aber irgendwie stimmt das nicht glaub ich -.-
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Der erste Schritt ist noch in Ordnung, du addierst die 3. Zeile zur ersten und "speicherst" diese Umformung auch in der Einheitsmatrix.
Dann musst du jedoch die selbe Umformung (und dieses Mal nur in der linken Matrix) auch auf den Spalten ausführen, d.h. die 3. Spalte auf die erste addieren.
Nur so bleint das ganze symmetrisch und entspricht dann auch einer Multiplikation der Form .
Fahre dann fort, bis du eine Diagonalmatrix erhältst.

Führt man die Zeilenumformungen in der Einheitsmatrix mit aus, so erhält man , die Spaltenumformungen liefern einem .
 
 
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

ok zweiter versuch ^^



Damit ergibt sich:

.

Ist das so nun korrekt?

Das Ergebnis ist dann die gesucht kongruente Matrix und das was mit deinem Verfahren am Ende rechts steht ist die Basiswechselmatrix?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

DAs ist so, wohl durch einen glücklichen Zufall korrekt, da du (zum einen) nicht richtig gelesen hast, was ich geschrieben habe: Wenn du die Zeilenumformungen mitspeicherst, erhältst du , also die Matrix, die von links heranzumultiplizieren ist.

Zum anderen kann ich den Schritt, der nach dem dritten Pfeil steht, nicht nachvollziehen. Das heißt ich habe entweder noch zu wenig Kaffee getrunken oder du hast da etwas falsch gemacht (was dann nur durch Glück weiterhin funktioniert hat).
Denn wie hast du, im rechten Block der vierten Matrix,
,
unten links die -1 hingezaubert und dabei alles andere unverändert lassen können?
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

zum ersten: hast recht, habs iwie nich gelesen mit der transponierten, war wohl schon zu müde sry.

zum zweiten: Da hab ich einfach 2mal dritte Spalte - erste Spalte gerechnet. Dann aber wohl aus Versehen im rechten Block es anders gemacht.

Besser kein Mathe mehr, wenn ich müde bin. Bin leider eben erst aufgestanden, also keine Garantie, dass ich richtig denken kann =)

Hab da nach erneutem rechnen als letzte Matrix stehen: .

Stimmt das nun so? oder wieder falsch? ^^

Und was ist dann dann was?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, rechne es doch einfach nach. Die gesuchte Matrix ist ja keinesfalls eindeutig.
Die Matrix die du (so zu sagen zufällig) gefunden hast, tat es ja bereits - und das sogar von beiden Seiten.

Wenn das Verfahren korrekt ausgeführt wird, sind (bei Speicherung der Zeilenumformungen) die Zeilen des rechten Blocks die neuen Basisvektoren.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm stimmt irgendwie nicht.

Also nochmal von vorn: Ich hab die Matriy links und die Einheismatrix rechts. Dann forme ich um: Wenn ich eine Zeilenumformung links mache, dann muss ich sie auch rechts machen. Dieselbe muss ich dann aber links als Spaltenumformung und rechts mache ich nix. Das selbe gilt dann auch wenn ich links ne Spaltenumformung mache, dann rechts auch und links das selbe nochmal mit Zeilen aber rechts nicht.
So hab ich das bisher verstanden. Scheint aber nicht wirklich zu klappen -.-

Und den Satz:
Führt man die Zeilenumformungen in der Einheitsmatrix mit aus, so erhält man , die Spaltenumformungen liefern einem .
verstehe ich auch nicht wirklich.

Sry


EDIT: Hab mir mal gedacht, dass man nicht beide Umformungen machen darf. Also entweder man macht nur Spaltenumformungen (die auch rechts) und dann links die entsprechenden Zeilenumformungen oder halt andersrum. Aber nicht mal so mal so.

Dann kommt bei mir als raus: . Wenn ich die mal A mal T nehme, kommt jetzt endlich eine Diagonalmatrix raus.

So sollte es doch dann stimmen oder???
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hamsterchen
Hmmm stimmt irgendwie nicht.

Also nochmal von vorn: Ich hab die Matriy links und die Einheismatrix rechts. Dann forme ich um: Wenn ich eine Zeilenumformung links mache, dann muss ich sie auch rechts machen. Dieselbe muss ich dann aber links als Spaltenumformung und rechts mache ich nix. Das selbe gilt dann auch wenn ich links ne Spaltenumformung mache, dann rechts auch und links das selbe nochmal mit Zeilen aber rechts nicht.
So hab ich das bisher verstanden. Scheint aber nicht wirklich zu klappen -.-


Bis hierher stimmt die Beschreibung. Allerdings - vielleicht hätte ich das deutlicher sagen müssen - musst du dich für eine dieser Varianten entscheiden.

Zitat:
Und den Satz:
Führt man die Zeilenumformungen in der Einheitsmatrix mit aus, so erhält man , die Spaltenumformungen liefern einem .
verstehe ich auch nicht wirklich.


Das soll heißen:

Variante 1) Zeilenumformungen links und rechts ausführen, Spaltenumformungen dann nur links - am Ende steht dann im rechten Block so dass in Diagonalgestalt ist.

Variante 2) Spaltenumformungen links und rechts ausführen, Zeilenumformungen dann nur links - am Ende steht dann im rechten Block so dass in Diagonalgestalt ist.

Ich denke ich zeige dir das mal ausführlich an einem Beispiel, vielleicht klappt es dann besser:

Wir betrachten , also spielt sich das Ganze über den reellen Zahlen ab.
Nun wenden wir das Verfahren an, ich verwende Variante 1):

Hier addiere ich nun die erste Zeile -2 mal zur Zweiten und -3 mal zur Dritten. Diese Umformungen führe ich auch in meiner Umformungsmatrix aus:
Nun führe ich die gleichen Umformungen auf den Spalten der linken Matrix aus, d.h. die erste Spalte -2 mal zur Zweiten und -3 mal zur Dritten, die Umformungsmatrix bleinbt wie sie ist:
Nun tausche ich zweite und dritte Zeile (wieder links und rechts):
Also vertausche ich nun wieder zweite und dritte Spalte links, ohne die Umformungsmatrix zu ändern:
. Nun addiere ich noch die zweite Zeile (wieder links und rechts) -1/3 mal auf die Dritte:
, nun führe ich diese Umformung noch auf den Spalten der linken Matrix aus:
.

Somit haben wir, dass erfüllt, dass ist.

ist also eine Orthogonalbasis bezüglich der von dargestellten Bilinearform.

Edit:
Zitat:
Original von Hamsterchen
Dann kommt bei mir als raus: . Wenn ich die mal A mal T nehme, kommt jetzt endlich eine Diagonalmatrix raus.


Ja, mit diesem T funktioniert es. Vielleicht hilft dir ja auch das Beispiel - ansonsten wird es anderen helfen, denn ab jetzt werde ich einfach darauf verweisen, wenn ich nochmal nach diesem Thema gefragt werde. Augenzwinkern
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

ok super dann hab ich das jetzt endlich verstanden ^^

kann man das eigentlich immer machen? Also immer, wenn man so ne Diagonalmatrix haben will? Oder geht das nur unter bestimmten Voraussetzungen?

Letzte Frage: Basiswechselmatrix ist doch dann mein T oder? Weil die Basis vorher die Standardbasis war. Oder täusche ich mich da?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, dieses Verfahren funktioniert stets für Bilinearformen und wenn du eine kongruente Matrix erhalten willst.
Für äquivalente ( für invertierbare Matrizen S,T mit passendem Format) oder ähnliche Matrizen ( mit einer invertierbaren Matrix T von passendem Format) sind völlig andere Verfahren zu verwenden.

T kann nun natürlich als Basiswechselmatrix angesehen werden.
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