grenzwertbestimmung folge

05.06.2010, 02:20	ronugor	Auf diesen Beitrag antworten »
grenzwertbestimmung folge Meine Frage: Hallo, habe heute den ganzen Mittag versucht, den Grenzwert von der Folge $\begin{eqnarray} a_{n} = ((\frac{n+1}{n})^{n^2})(1/e^{n} ) \end{eqnarray}$ zu berechnen. Meine Ideen:* Laut Wolframalpha müsste das $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{e} } \end{eqnarray}$ sein. Aber wie kommt man darauf? Ich weiß, dass $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } (\frac{n+1}{n})^{n} = e \end{eqnarray}$ Leider komme ich da nicht weiter. Wäre dankbar für eine Antwort.
05.06.2010, 03:07	Hektrio	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: grenzwertbestimmung folge Setz doch für e den Limeswert von e ein: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}(\frac{n+1}{n})^{n^2}\cdot\frac{1}{(\frac{n+1}{n})^{n^2}}=1 \end{eqnarray}$ (Es ist aber nur eine Vermutung von mir und soll als Ansatz für dich dienen.)
05.06.2010, 08:49	ronugor	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: grenzwertbestimmung folge hm, ich sehe nicht ganz, was mir das bringen soll. Schließlich würde ich so bei 1 landen, was aber nunmal nicht der grenzwert ist. Mein Problem ist wie man auf diese verrückte Wurzel kommt. Gruß, Ronugor
05.06.2010, 08:57	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde die ganze Geschichte erstmal logarithmieren, d.h. $\begin{eqnarray} b_n = \ln(a_n) \end{eqnarray}$ betrachten: $\begin{eqnarray} b_n = n^2\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) - n \end{eqnarray}$ Nutzt man dann die Logarithmus-Potenzreihe $\begin{eqnarray} \ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+O(x^3) \end{eqnarray}$ , so ergibt sich $\begin{eqnarray} b_n = n^2\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + O\left( \frac{1}{n^3} \right) \right) - n = -\frac{1}{2} + O\left( \frac{1}{n} \right) \end{eqnarray}$ .
05.06.2010, 09:02	ronugor	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh vielen Danke, das war ja eigentlich gar nicht so schwierg. Logarithmiert hatte ich auch mal zwischendurch, aber nie daran gedacht die Reihe von log einzusetzen. Danke, Ronugor

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