Vereinfachen zu Binomischer Formel

05.06.2010, 12:02

Binomi

Vereinfachen zu Binomischer Formel

Hallo,

ich möchte den Term:
$\begin{eqnarray*} 2a^3+b^3-ba^2) \end{eqnarray*}$ zusammenfassen. Da soll eine Binomische Formel, und ein Faktor herauskommen.

05.06.2010, 12:12

lgrizu

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RE: Vereinfachen zu Binomischer Formel
wie sieht denn die binomische formel für (a-b)^3 aus?
irgendeine idee?

05.06.2010, 12:27

Binomi

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Die müsste lauten:
$\begin{eqnarray*} a^3-3a^2b+3ab^2-b^2 \end{eqnarray*}$

05.06.2010, 12:41

lgrizu

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ist richtig.

wo kommst du nun nicht weiter?

05.06.2010, 13:19

Q-fLaDeN

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Sollte immernoch

$\begin{eqnarray*} (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \end{eqnarray*}$

sein. War vermutlich nur ein Schreibfehler.

05.06.2010, 14:12

Binomi

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Also herauskommen soll das:

$\begin{eqnarray*} (a-b)^2(2a+b) \end{eqnarray*}$

Was hilft mir jetzt die Binomische Formel mit ^3?

05.06.2010, 16:11

Elvis

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Stimmt nicht, dass das "rauskommt", weil es nicht gleich ist. $\begin{eqnarray*} (a-b)^2(2a+b)=2a^3-3a^2b+b^3 \end{eqnarray*}$ .

05.06.2010, 19:02

Binomi

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Ups da habe ich im Ausgangsposting die 3 vergessen. Aber wie kommt man da nun rückwärts drauf?

05.06.2010, 21:16

Kääsee

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Zitat:

Original von Binomi
Aber wie kommt man da nun rückwärts drauf?

Schreibe erst mal alles in seinen Einzelteilen hin:

$\begin{eqnarray*} 2a³-3a²b+b³=a³+a³-a²b-a²b-a²b+b³ \end{eqnarray*}$

und dann musst du nur noch geschickt ausklammern.
Ich helfe dir mal beim Anfang:

$\begin{eqnarray*} a³-a²b+a³-a²b-a²b+b³=a²(a-b)+a²(a-b)-a²b+b³ \end{eqnarray*}$

jetzt kannst du im vorderen Teil zusammenfassen und im hinteren Teil nochmal -b ausklammern:

$\begin{eqnarray*} 2a²(a-b)-b(a²-b²) \end{eqnarray*}$

wie könnte es weitergehen? Siehst du etwas? Augenzwinkern

05.06.2010, 21:36

Binomi

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Hmm ich sehe nur die 3. Binomische Formel. Damit kann man das ausklammern:

$\begin{eqnarray*} (a-b)(2a^2-b(a+b)) \end{eqnarray*}$ , aber ob das was hilft sehe ich jetzt auch nicht.

05.06.2010, 21:41

Kääsee

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Doch, das hilft schon sehr gut Freude

jetzt multipliziere $\begin{eqnarray*} -b(a+b) \end{eqnarray*}$ nochmal aus und schaue, ob du in der hinteren Klammer noch was anstellen kannst.

06.06.2010, 09:47

Binomi

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Hmm wie will ich das ausklammern? Das kommt doch nur an einer Stelle vor.

06.06.2010, 12:44

Kääsee

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Ich habe gesagt, ausmultiplizieren Augenzwinkern

Du hättest dann folgendes:

$\begin{eqnarray*} (a-b)(2a²-ab-b²)=(a-b)(a²+a²-ab-b²)=(a-b)(a²-ab+a²-b²) \end{eqnarray*}$

ich habe es dir schonmal in die richtige Reihenfolge gebracht, jetzt versuche in der zweiten Klammer bei den ersten beiden Summanden a auszuklammern und dann wieder etwas zu erkennen Augenzwinkern

06.06.2010, 12:58

Binomi

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Ok jetzt habe ich es. Aber da kommt man doch so nie drauf, oder? Und geht das evtl. auch kürzer? Also, das ich direkt aus der Ausgangsform was sinnvolle ausklammere?

06.06.2010, 13:01

Kääsee

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Also ich kriege es nicht kürzer hin^^ Ist halt eine Aufgabe, bei der man etwas rumprobieren muss. Und wenn man die "Lösung" nicht weiß, ist es noch schwerer.
Wenn jemand anderes vielleicht ne bessere Idee hat, kann er es ja noch sagen.

Wäre übrigens nett, wenn du den restlichen Lösungsweg noch hinschreibst, damit man immer mal wieder hier reingucken kann smile

06.06.2010, 14:23

Binomi

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$\begin{eqnarray*} (a-b)(2a²-ab-b²)=(a-b)(a²+a²-ab-b²)= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a-b)(a²-ab+a²-b²)=(a-b)(a\cdot(a-b)+a^2-b^2))= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a-b)(a\cdot(a-b)+(a-b)(a+b))=(a-b)^2\cdot(2a+b) \end{eqnarray*}$

Ich hoffe ich habe nichts vergessen.

edit: Zeilenumbrüche zur besseren Lesbarkeit eingefügt.
LG sulo

06.06.2010, 15:02

Q-fLaDeN

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Betrachtet man die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(a) = 2a^3-3a^2b+b^3 \end{eqnarray*}$

findet man schnell die Nullstelle $\begin{eqnarray*} a_0 = b \end{eqnarray*}$

Polynomdivision führt dann zu

$\begin{eqnarray*} f(a) = (a-b)(2a^2 - ab - b^2) \end{eqnarray*}$

Die Nullstellen des hinteren Faktors bekommt man dann mittels

$\begin{eqnarray*} a_{1,2} = \frac{b\pm \sqrt{b^2+8b^2}}{4} = ... \end{eqnarray*}$

Das führt dann letztendlich zu

$\begin{eqnarray*} f(a) = 2(a-b)(a-b)(a+\frac b 2 ) \end{eqnarray*}$

06.06.2010, 18:48

Kääsee

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Zitat:

Original von Binomi
$\begin{eqnarray*} (a-b)(2a²-ab-b²)=(a-b)(a²+a²-ab-b²)= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a-b)(a²-ab+a²-b²)=(a-b)(a\cdot(a-b)+a^2-b^2))= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a-b)(a\cdot(a-b)+(a-b)(a+b))=(a-b)^2\cdot(2a+b) \end{eqnarray*}$

Ich hoffe ich habe nichts vergessen.

edit: Zeilenumbrüche zur besseren Lesbarkeit eingefügt.
LG sulo

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