Schwache Konvergenz im Hilbertraum

05.06.2010, 12:19

BanachraumK_5

Schwache Konvergenz im Hilbertraum

Hallo ich habe gelesen das bei schwacher Konvergenz folgendes gilt:

Sei $\begin{eqnarray*} (u_k)_k \subset E \end{eqnarray*}$ eine Folge und E ein Hilbertraum, konvergiert nun unsere Folge $\begin{eqnarray*} u_k \rightarrow^{schwach} u \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} \forall w \in E \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} <u_k,w> \rightarrow <u,w> \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet doch aber auch insbesondere

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \rightarrow \infty} u_k = u \in E \end{eqnarray*}$

Was ja impliziert, dass in diesem Fall aus der schwachen Konvergenz die starke folgt ??

Hab ich das falsch verstanden oder trifft dies im Hilbertraum tatsächlich zu ???

vgl. http://www.iadm.uni-stuttgart.de/LstAnaM...eKonvergenz.pdf

05.06.2010, 13:02

giles

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Im endlich dimensionalen fallen die Begriffe tatsächlich zusammen. Dass aus stark auch schwach folgt sieht man auch relativ schnell.
Allgemeiner gilt aber im Hilbertraum konvergiert eine schwach konvergente Folge $\begin{eqnarray*} f_n \rightharpoonup f \end{eqnarray*}$ genau dann auch stark wenn zusätzlich $\begin{eqnarray*} ||f_n||\to ||f|| \end{eqnarray*}$

05.06.2010, 13:17

BanachraumK_5

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O.K. in meinem Fall ist E aber ein unendlich dimensionaler Hilbertraum.

Dann ist obige Betrachtung also doch falsch ?

Ich untersuche nämlich die Abbildung $\begin{eqnarray*} \Vert \cdot \Vert:E \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt bin ich ein bisschen verwirrt, ich möchte nämlich zeigen, dass für eine schwach konvergente Folge in E folgt, dass die Bildfolge ebenfalls schwach konvergiert ??

Was ist im Unendlichdimensionalen Fall alles anders ?

05.06.2010, 13:32

giles

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Verstehe ich das richtig: du möchtest zeigen, dass $\begin{eqnarray*} ||f_n||\to ||f|| \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} f_n \rightharpoonup f \end{eqnarray*}$ ?
Ist das wirklich deine Aufgabe? Ist doch eigentlich falsch verwirrt

05.06.2010, 13:41

BanachraumK_5

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Zitat:

ich möchte nämlich zeigen, dass für eine schwach konvergente Folge in E folgt, dass die Bildfolge ebenfalls schwach konvergiert ?

Zitat:

Verstehe ich das richtig: du möchtest zeigen, dass $\begin{eqnarray*} ||f_n||\to ||f|| \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} f_n \rightharpoonup f \end{eqnarray*}$ ?

Da $\begin{eqnarray*} ||f_n||\to ||f|| \end{eqnarray*}$ in unserem Fall äquivalent ist zu schwachen Konvergenz möchte ich dass zeigen. Wie zeige ich denn, dass dies nicht gilt ?

Sag mal wie sieht es denn bezüglich der Kompaktheit von der Normabbildung aus ? Kann ich da Bolzanoweierstraß anwenden?

05.06.2010, 13:56

giles

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Zitat:

Original von BanachraumK_5
Da $\begin{eqnarray*} ||f_n||\to ||f|| \end{eqnarray*}$ in unserem Fall äquivalent ist zu schwachen Konvergenz möchte ich dass zeigen.

Ist das wirklich äquivalent zu eurer Aussage?

Würde das immer gelten wäre stark äquivalent zu schwach, das sieht man ja so
$\begin{eqnarray*} ||f_n - f||^2 =\langle f-f_n | f-f_n \rangle = ||f_n||^2 - \langle f_n | f \rangle - \langle f | f_n \rangle + ||f||^2 \end{eqnarray*}$

Zu Gegenbeispielen für schwach zu stark würde ich mal das Internet durchsuchen, findet sich bestimmt was

05.06.2010, 14:21

BanachraumK_5

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In meinem Fall handelt es sich Funktional, in diesem Fall ist stark und schwach stetig das gleiche. Denn im Skalarenkörper ist schwach konvergent das gleiche wie stark konvergent.

Unterm Strich muss ich also gemäß Skript zeigen, dass für eine schwach konvergente Folge $\begin{eqnarray*} (u_k)_k \subset E \end{eqnarray*}$ mit schwachen Grenzwert $\begin{eqnarray*} u \in E \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} lim_{n \rightarrow \infty}\Vert u_n \Vert = \Vert u \Vert \end{eqnarray*}$

und gem.

Zitat:

Würde das immer gelten wäre stark äquivalent zu schwach, das sieht man ja so $\begin{eqnarray*} ||f_n - f||^2 =\langle f-f_n | f-f_n \rangle = ||f_n||^2 - \langle f_n | f \rangle - \langle f | f_n \rangle + ||f||^2 \end{eqnarray*}$

gilt das dann ja wohl doch nicht.

Aber so ganz ist mir dein Beweis nicht einleuchtend. Du nimmst die schwache Konvergenz an oder ?

05.06.2010, 14:26

BanachraumK_5

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Also wenn u_k schwach konvergiert gilt

$\begin{eqnarray*} <u_k, u_k> \rightarrow <u,u> \end{eqnarray*}$ und dann kann man doch auch schreiben

$\begin{eqnarray*} ||u_k||\to ||u|| \end{eqnarray*}$

05.06.2010, 15:18

giles

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Hm, ich versteh meine eigene Argumentation auch nicht mehr.
Meine Literatur hilft mir leider auch nicht, weil da stehts fast genau so drin.
Vllt liest das ja jemand der mal den Berg webschiebt vor dem ich gerade wie der Ochs steh.

Aber das

Zitat:

$\begin{eqnarray*} <u_k, u_k> \rightarrow <u,u> \end{eqnarray*}$

Stimmt so ohne weiteres nicht, denn die definition von schwacher Konvergenz fordert es zwar für alle Hilbertraumelemente, aber dabei ist das zweite Argument immer konstant.

05.06.2010, 15:38

BanachraumK_5

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Sicher?

Sei $\begin{eqnarray*} (u_k)_k \subset E \end{eqnarray*}$ eine Folge und E ein Hilbertraum, konvergiert nun unsere Folge $\begin{eqnarray*} u_k \rightarrow^{schwach} u \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} \forall w \in E \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} <u_k,w> \rightarrow <u,w> \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$

O.K. weil bei meinem Beweis habe ich in obige Definition einfach $\begin{eqnarray*} u_k \in E \end{eqnarray*}$ eingesetzt und das darf ich ja. Ich darf also nicht den Grenzwert bilden. Es kann auch nicht stimmen denn sonst würde IMMER wegen $\begin{eqnarray*} \sqrt{<u,u>} = \Vert u \Vert \end{eqnarray*}$ auch die Konvergenz bzgl der Folge der Normen folgen.

Hm sagt mir mal jemd. einen Beweis oder wo das steht im Werner habe ich nix gefunden.

05.06.2010, 16:00

giles

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Mal anders:
Jedes ONS konvergiert schwach gegen 0, da für $\begin{eqnarray*} \langle \varphi_n |v \rangle = c_n \end{eqnarray*}$ der n-te Entwicklungskoeffizient ist, welcher nach der Besselschen Ungleichung bzw. parsevalschen Gleichung eine Nullfolge sein muss für jedes v. Dies ist aber nicht stark, konkret also

$\begin{eqnarray*} L^2(0,2\pi) \end{eqnarray*}$ dann gilt $\begin{eqnarray*} \langle \sin (n x)| v \rangle \to \langle 0 | v \rangle = 0 \end{eqnarray*}$
d.h.
$\begin{eqnarray*} \sin(n x) \rightharpoonup 0 \end{eqnarray*}$
aber
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} \int^{2\pi} _0 \sin(n x)^2 dx = 1:\forall n\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$
d.h.
$\begin{eqnarray*} ||\sin(n x)|| \not \to ||0|| \end{eqnarray*}$

06.06.2010, 18:05

BanachraumK_5

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Danke für deine Hilfe! Du hast mir wirklich sehr geholfen.

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