Integration DGL

05.06.2010, 13:20	Dieter89	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration DGL Hallo, ich habe die Newtonsche Bewegungsgleichung: $\begin{eqnarray} m \cdot \frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{F} \end{eqnarray}$ Ich multipliziere mit auf beiden Seiten mit $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} m \cdot \frac{d\vec{v}}{dt} \cdot \vec{v} = \vec{F} \cdot \vec{v} \end{eqnarray}$ Nun integriere ich über die Zeit von $\begin{eqnarray} t1 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} t2 \end{eqnarray}$ Den folgenden Schrit verstehe ich nicht: $\begin{eqnarray} m \cdot \int_{t_1}^{t_2} \ \frac {\dd \vec{v}}{\dd t} \vec{v} \dd t \;=\int_{t_1}^{t_2} \dd t \; \vec{F} \cdot \vec{v}=W. \end{eqnarray}$ Wieso steht auf der rechten Seite das $\begin{eqnarray} \int_{t_1}^{t_2} \end{eqnarray}$ alleine ohne $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ ? Müsste es nicht so heißen(?): $\begin{eqnarray} \int_{t_1}^{t_2} \vec{v} \dd t \; \vec{F} \end{eqnarray}$ denn $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ ist doch von t abhängig...(und wie integriere ich $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ ? ... $\begin{eqnarray} \int_{t_1}^{t_2}\ \vec{v} \dd t\; = \int_{t_1}^{t_2} \ \frac{\dd \vec{s}}{\dd t} \dd t \; = \vec{v} \cdot [t_2-t_1] \end{eqnarray}$ ?) Und wie integriere ich $\begin{eqnarray} \int_{t_1}^{t_2}\ \frac{\dd \vec{v}}{\dd t} \cdot \vec{v} \dd t \; \end{eqnarray}$ ? Hatte mir schon gedacht, das mittels partieller Integration zu machen, aber dabei komm ich einfach auf nix vernünftiges. Das geht doch zudem auch sicherlich schneller. Rauskommen muss am Ende das hier: $\begin{eqnarray} \frac{m}{2} [\vec{v}^2(t_2)-\vec{v}^2(t_1)]=\int_{t_1}^{t_2} \dd t \; \vec{F} \cdot \vec{v}=W. \end{eqnarray}$
06.06.2010, 00:15	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration DGL In der (theoretischen) Physik wird für Integrale gerne diese alternative Schreibweise verwendet. Das meint das gleiche. $\begin{eqnarray} \int f(x) \, \dx = \int \dx \, f(x) \end{eqnarray}$ Bei diesem Kleinkram ist das noch egal, aber bei ungemütlicheren Integralen, wo man beispielsweise über mehrere Variablen integriert oder die Funktionen einfach ekelhaft lang werden, sehen viele in dieser Schreibweise Vorteile. Kann man drüber streiten und ist irgendwo auch Ermessenssache. In der Mathematik findet man sowas wohl auch eher wenig bis gar nicht. Physiker sind aber ja auch etwas weniger kleinlich (bitte nicht wertend verstehen), wenn's um sowas geht. Bei der Frage nach der Integration von $\begin{eqnarray} \int \frac{\dd \vec{v}}{\dd t} \cdot \vec{v} \, \dd t \end{eqnarray}$ lautet das Stichwort Substitution. Da steht ja nichts anderes als ein Integral der Form $\begin{eqnarray} \int f'(x) \cdot f(x) \, \dx \end{eqnarray}$ und mit der Substitution $\begin{eqnarray} f(x)=u \quad \Rightarrow \quad \frac{\dd u}{\dx} = f'(x) \end{eqnarray}$ wird daraus eben $\begin{eqnarray} \int u \, \dd u \, \, = \frac{u^2}{2} \end{eqnarray}$ Jetzt noch rücksubstituieren und du hast dein obiges Resultat. Hierbei ist dann tatsächlich völlig egal, wie f (bzw. in deinem konkreten Fall das v, das in der Tat von t abhängt) genau aussieht, bei Integralen dieser Form haut das mit dieser simplen Substitution immer hin.
06.06.2010, 14:35	Dieter89	Auf diesen Beitrag antworten »
Hehe, natürlich. Darauf bin ich natürlich nicht gekommen

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