extrema von funktion mit 2 variablen

05.06.2010, 13:41

analysisisthedevil

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extrema von funktion mit 2 variablen

untersuchen sie die funktion auf sattelpunkte und lokale extrema.
kann mir jemand helfen wie das geht?
ich weis das ich die ersten sowie zweiten partiellen ableitungen bilden muss und die ersten beiden ableitungen jeweils mit 0 gleichsetzen.aber ich peil nicht so ganz wie ich die punkte bestimme bzw was ich jetz nach welcher variable auflösen soll.

$\begin{eqnarray*} f(x, y) =(x^2 &#8722; 1)(y^2 &#8722; 4) \end{eqnarray*}$

also die ableitungen hab ich noch hinbekommen:
$\begin{eqnarray*} f_{x}(x, y) =2x\cdot y^2 -8x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{y}(x, y) =2yx^{2} - 2y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{xx}(x, y) =2\cdot y^2 -8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{yy}(x, y) =2x^{2} - 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{xy}(x, y) =4xy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{x}(x, y) =0\Rightarrow 2x\cdot y^2 -8x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{y}(x, y) =0\Rightarrow 2yx^{2} - 2y=0 \end{eqnarray*}$

was muss ich jetz wie auflösen??

05.06.2010, 13:46

Cel

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Man kann die Funktion nicht sehen. Schreib sie am besten noch mal auf.

Ansonsten: Klammere aus. Oben ein x und unten ein y. So kommt du zunächst mal auf verschiedene Werte, dass die partiellen Ableitungen gleich Null sind. Dann musst du überlegen, bei welchen Werten beide gleich Null sind.

05.06.2010, 14:00

analysisisthedevil

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RE: extrema von funktion mit 2 variablen
$\begin{eqnarray*} f(x, y) =(x^2 - 1)(y^2 - 4) \end{eqnarray*}$

also die ableitungen hab ich noch hinbekommen:
$\begin{eqnarray*} f_{x}(x, y) =2x\cdot y^2 -8x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{y}(x, y) =2yx^{2} - 2y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{xx}(x, y) =2\cdot y^2 -8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{yy}(x, y) =2x^{2} - 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{xy}(x, y) =4xy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{x}(x, y) =0\Rightarrow 2x\cdot y^2 -8x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{y}(x, y) =0\Rightarrow 2yx^{2} - 2y=0 \end{eqnarray*}$

so habs geändert

05.06.2010, 14:03

Cel

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Zitat:

Original von Mr. Brightside
Ansonsten: Klammere aus. Oben ein x und unten ein y. So kommt du zunächst mal auf verschiedene Werte, dass die partiellen Ableitungen gleich Null sind. Dann musst du überlegen, bei welchen Werten beide gleich Null sind.

05.06.2010, 14:06

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von Mr. Brightside

Zitat:

Original von Mr. Brightside
Ansonsten: Klammere aus. Oben ein x und unten ein y. So kommt du zunächst mal auf verschiedene Werte, dass die partiellen Ableitungen gleich Null sind. Dann musst du überlegen, bei welchen Werten beide gleich Null sind.

$\begin{eqnarray*} x( 2\cdot y^2 -8)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y( 2x^{2} - 2)=0 \end{eqnarray*}$

so was heißt das jetz?
$\begin{eqnarray*} y_{1}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1}=0 \end{eqnarray*}$
????

05.06.2010, 14:34

Cel

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Das ist nur einer von vielen kritischen Punkten. Aber gut. Du musst diesen Punkt in die Hessematrix einsetzen, welche so aussieht:

$\begin{eqnarray*} H_f(x,y) = \begin{pmatrix}f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Das sagt dir doch hoffentlich etwas?

Zu den anderen Punkten. Ein Produkt ist gleich Null, wenn ... ? Die beiden Ausdrücke können auch Null werden, wenn x oder y nicht gleich 0 sind.

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05.06.2010, 14:35

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von Mr. Brightside
Das ist nur einer von vielen kritischen Punkten. Aber gut. Du musst diesen Punkt in die Hessematrix einsetzen, welche so aussieht:

$\begin{eqnarray*} H_f(x,y) = \begin{pmatrix}f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Das sagt dir doch hoffentlich etwas?

ja ich habe es schon mal gesehen,habe allerdings bewusst versucht das ohne diese matrix zu lösen weil ich davon keine spur gefunden habe im skript...

05.06.2010, 14:37

Cel

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Nun ja, was steht denn in deinem Skript? Das ist die gängige hinreichende Bedingung für Extrema, entspricht ja der zweiten Ableitung einer eindimensionalen Funktion.

05.06.2010, 15:13

analysisisthedevil

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ok,also in kurzfassung steht da nicht mehr und nicht wenig er als:

lokales maximum:

notwendig

$\begin{eqnarray*} f_{x}(x_{0},y_{0})= 0\cup f_{y}(x_{0},y_{0})= 0 \end{eqnarray*}$

hinreichend:
$\begin{eqnarray*} \Delta(x_{0},y_{0})>0\cup f_{xx}(x_{0},y_{0})<0 \end{eqnarray*}$

bzw. $\begin{eqnarray*} f_{yy}(x_{0},y_{0})<0 \end{eqnarray*}$

lokales minimum:

notwendig

$\begin{eqnarray*} f_{x}(x_{0},y_{0})= 0\cup f_{y}(x_{0},y_{0})= 0 \end{eqnarray*}$

hinreichend

$\begin{eqnarray*} \Delta(x_{0},y_{0})>0\cup f_{xx}(x_{0},y_{0})>0 \end{eqnarray*}$

bzw. $\begin{eqnarray*} f_{yy}(x_{0},y_{0})>0 \end{eqnarray*}$

sattelpunkte:

ist $\begin{eqnarray*} (x_{0},y_{0}) \end{eqnarray*}$ ein stationärer punkt und ist $\begin{eqnarray*} \Delta(x_{0},y_{0})<0 \end{eqnarray*}$

so liegt ein sattelpunkt vor.
natürlich ist das jetz stark zusammengefasst aber im prinzip kann man sagen,das war es eigentlich auch schon...

05.06.2010, 15:23

Cel

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Und weisst du auch, was $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ ist?

05.06.2010, 16:04

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von Mr. Brightside
Und weisst du auch, was $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ ist?

$\begin{eqnarray*} \Delta(x_{0},y_{0})= f_{xx}(x_{0},y_{0})\cdot f_{yy}(x_{0},y_{0})- (f_{xy}(x_{0},y_{0}))^2 \end{eqnarray*}$

05.06.2010, 17:39

Cel

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Und das ist genau die Determinante des Hessematrix. Sie zeigt, zusammen mit der anderen Eigenschaft, ob sie positv oder negativ definit ist. Also alles in Ordnung. Es ist nur ein anderer Weg, es aufzuschreiben.

Dann müsste doch nun alles klar sein? Die anderen Punkte fehlen auch noch ...

05.06.2010, 17:44

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von Mr. Brightside
Und das ist genau die Determinante des Hessematrix. Sie zeigt, zusammen mit der anderen Eigenschaft, ob sie positv oder negativ definit ist. Also alles in Ordnung. Es ist nur ein anderer Weg, es aufzuschreiben.

Dann müsste doch nun alles klar sein? Die anderen Punkte fehlen auch noch ...

was meinst du mit andere punkte?wendepunkte etc.?also dazu haben wir nix gemacht falls du das meinst bzw. wir haben zu dem gesamten thema noch nix gemacht das kommt erst in einem monat drann aberda der prof eh nur das skript vorliest, wollte ich schon mal vorlernen deswegen bin ich auch dauernd am hängen mit den sachen.

irgendwie müsste es schon klar sein,aber ich steh da halt echt auf dem schlauch.

$\begin{eqnarray*} f_{x}(x, y) =0\Rightarrow 2x\cdot y^2 -8x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{y}(x, y) =0\Rightarrow 2yx^{2} - 2y=0 \end{eqnarray*}$

also die dinger muss ich jetz nach x bzw y auflösen,stimmts?das erste problem is wie gesagt schon mal das ich nicht weis welche der beiden ich nach welcher variablen auflösen muss... Hammer

Hammer

05.06.2010, 17:50

analysisisthedevil

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RE: extrema von funktion mit 2 variablen
die genaue aufgabenstellung war übrigens

$\begin{eqnarray*} (x^2-1)(y^2-4)= x^2y^2- 4x^2-1y^2+ 4 \end{eqnarray*}$

welche aussage stimmt verwirrt

verwirrt

2 der 6 aussagen sind richtig)

1.die funktion hat ein lokales maximum in (0/1)

2.die fkt hat ein lokales minimum in (1/0)

3.die fkt hat ein lokales max. in (0/0)

4.die fkt hat ein lokales minimum in (-1/0)

5 die funktion hat einen sattelpunkt in (-1/-2)

6:die funktion hat einen sattelpunkt in (1/1)

05.06.2010, 17:53

Cel

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OK, dann weiß ich jetzt Bescheid. Nun, die anderen Punkte. Du hast schon herausgefunden, dass grad (0,0) = (0,0) ist. Das ist richtig. Und du hast auch richtig ausgeklammert.

Zitat:

Original von analysisisthedevil
$\begin{eqnarray*} x( 2\cdot y^2 -8)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y( 2x^{2} - 2)=0 \end{eqnarray*}$

so was heißt das jetz?
$\begin{eqnarray*} y_{1}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1}=0 \end{eqnarray*}$
????

Wie gesagt, (0,0) stimmt, ich zeig dir mal was:

$\begin{eqnarray*} x( 2\cdot y^2 -8) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee 2 \cdot y^2 - 8 = 0 \end{eqnarray*}$

Das eine musst du jetzt noch nach y auflösen, das selbe dann mit der zweiten Gleichung.

Edit: Ach, dann ist es ja noch einfacher. Du hast die verschiedenen möglichen Werte schon gegeben. Prüfe zuerst, ob die notwendige Bedingung erfüllt ist, also gucke, ob die partiellen Ableitungen gleich Null sind an den genannten Punkten. Dann kannst du die hinreichenden Bedingungen prüfen.

05.06.2010, 18:21

analysisisthedevil

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$\begin{eqnarray*} (x^2-1)(y^2-4)= x^2y^2- 4x^2-1y^2+ 4 \end{eqnarray*}$

welche aussage stimmt? (2 der 6 aussagen sind richtig)

1.die funktion hat ein lokales maximum in (0/1)

2.die fkt hat ein lokales minimum in (1/0)

3.die fkt hat ein lokales max. in (0/0)

4.die fkt hat ein lokales minimum in (-1/0)

5 die funktion hat einen sattelpunkt in (-1/-2)

6:die funktion hat einen sattelpunkt in (1/1)

lokales maximum:

notwendig

$\begin{eqnarray*} f_{x}(x_{0},y_{0})= 0\cup f_{y}(x_{0},y_{0})= 0 \end{eqnarray*}$

hinreichend:
$\begin{eqnarray*} \Delta(x_{0},y_{0})>0\cup f_{xx}(x_{0},y_{0})<0 \end{eqnarray*}$

bzw. $\begin{eqnarray*} f_{yy}(x_{0},y_{0})<0 \end{eqnarray*}$

lokales minimum:

notwendig

$\begin{eqnarray*} f_{x}(x_{0},y_{0})= 0\cup f_{y}(x_{0},y_{0})= 0 \end{eqnarray*}$

hinreichend

$\begin{eqnarray*} \Delta(x_{0},y_{0})>0\cup f_{xx}(x_{0},y_{0})>0 \end{eqnarray*}$

bzw. $\begin{eqnarray*} f_{yy}(x_{0},y_{0})>0 \end{eqnarray*}$

sattelpunkte:

ist $\begin{eqnarray*} (x_{0},y_{0}) \end{eqnarray*}$ ein stationärer punkt und ist $\begin{eqnarray*} \Delta(x_{0},y_{0})<0 \end{eqnarray*}$

so liegt ein sattelpunkt vor.

$\begin{eqnarray*} f(x, y) =(x^2 - 1)(y^2 - 4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{x}(x, y) =2x\cdot y^2 -8x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{y}(x, y) =2yx^{2} - 2y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{xx}(x, y) =2\cdot y^2 -8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{yy}(x, y) =2x^{2} - 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{xy}(x, y) =4xy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{x}(x, y) =0\Rightarrow 2x\cdot y^2 -8x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{y}(x, y) =0\Rightarrow 2yx^{2} - 2y=0 \end{eqnarray*}$

1. $\begin{eqnarray*} f_{x}(0, 1) =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{y}(0, 1) =-2 \end{eqnarray*}$

die aussage ist falsch

2.
$\begin{eqnarray*} f_{x}(1, 0) =-8 \end{eqnarray*}$

die aussage ist falsch

3.
$\begin{eqnarray*} f_{x}(0, 0) =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{y}(0, 0) =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Delta(0,0)=8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{xx}(0, 0) <0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{yy}(0, 0) <0 \end{eqnarray*}$

die aussage ist Richtig

4. $\begin{eqnarray*} f_{x}(-1, 0) =8 \end{eqnarray*}$

die aussage ist falsch

5.

$\begin{eqnarray*} \Delta(-1,-2)=0 \end{eqnarray*}$

die aussage ist falsch

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ aussage 3 und aussage 6 sind richtig!!

05.06.2010, 18:25

Cel

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Freude

Scheint alles gut zu sein.

05.06.2010, 18:26

analysisisthedevil

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puh schwere geburt.....danke für die hilfe!!!ohne die seite hier wär ich schon so manches mal verzweifelt Freude

Freude

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