Grenzwertbeweis mit Mittelwertsatz

05.06.2010, 14:56

stunningsteve

Grenzwertbeweis mit Mittelwertsatz

Meine Frage:
Hallo,
hab ein Problem bei der Anwendung des Mittelwertsatzes für den Beweis des folgenden Grenzwertes:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sin(\sqrt{n+1} ) -\sin(\sqrt{n} ) =0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Das Ganze ist ja äquivalent zu $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sin(\sqrt{n+1} ) =\lim_{n \to \infty }\sin(\sqrt{n} ) \end{eqnarray*}$
Meine Vermutung ist, dass gezeigt werden muss, dass beide Grenzwerte 0 sind. Also hab ich auf beiden Seiten versucht via Mittelwertsatz umzuformen, jedoch komm ich auf kein vernünftiges Ergebnis, egal auf welche Seite ich den Mittelwertsatz anwende.

05.06.2010, 15:05

Cel

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Beide Grenzwerte sind sicher ungleich Null, sie existieren nämlich nicht. Lass den Limes erst mal weg und überlege, wie du den MWS bei der ursrünglichen Summe $\begin{eqnarray*} \sin(\sqrt{n+1}) - \sin(\sqrt n) \end{eqnarray*}$ anwenden kannst.

05.06.2010, 15:59

stunningsteve

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Ok stimmt, Sinus und Kosinus haben kein Grenzwert.

Also mit $\begin{eqnarray*} f(n)=\sin(\sqrt{n+1} ) -\sin(\sqrt{n} ) \end{eqnarray*}$

ist $\begin{eqnarray*} f'(n)=\frac{\cos(\sqrt{n+1} )}{2\sqrt{n+1}} -\frac{\cos(\sqrt{n} )}{2\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ .

Also existiert ein x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [0,n] mit $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x+1} )}{2\sqrt{x+1}} -\frac{\cos(\sqrt{x} )}{2\sqrt{x}}=\frac{\sin(\sqrt{n+1})-\sin(\sqrt{n})-\sin(1)}{n} \end{eqnarray*}$

Somit ist $\begin{eqnarray*} \sin(\sqrt{n+1} ) -\sin(\sqrt{n} )=n(\frac{\cos(\sqrt{x+1} )}{2\sqrt{x+1}} -\frac{\cos(\sqrt{x} )}{2\sqrt{x}})+\sin(1) \end{eqnarray*}$

Wirklich hilfreich ist das aber auch noch nicht. Das in der Klammer ginge zwar gegen 0, jedoch steht davor ja n was gegen unendlich geht. Entweder ist irgendwo ein Fehler drin oder ich hab den Mittelwertsatz falsch angewendet.

05.06.2010, 17:46

Cel

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Du hast da einen Denkfehler. Du leitest nach Kettenregel ab, was hier aber nicht richtig ist. Eine innere Ableitung brauchst du nicht. Betrachte die Wurzelterme als deine festen Zahlen a, b in der Formel.

Es geht um die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \sin(x) \end{eqnarray*}$ und du setzt die festen Zahlen $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1} \text{ und } \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ ein.

Ausserdem hast du den MWS anscheinend noch nicht zu 100 % verstanden, denn du musst nicht die Summe der Terme ableiten, nur die Funktion selber.

Es gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(\xi), \xi \in (a,b) \end{eqnarray*}$ .

Probier's gleich noch mal, das kriegst du hin! Nur Mut Augenzwinkern

05.06.2010, 18:26

stunningsteve

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Danke, jetzt bin ich auf was Vernüftiges gekommen.
Durch den MWS ergibt sich: $\begin{eqnarray*} \sin(\sqrt{n+1} ) -\sin(\sqrt{n} ) =\cos(\xi)(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \end{eqnarray*}$
Dabei geht das in Klammern gegen 0, ersichtlich nach Erweitern und Einsatz 3. Binomischer Formel, während der Kosinus immer zwischen -1 und 1 verläuft, also geht der komplette Term gegen 0 und der Beweis ist erbracht.

An sich versteh ich den MWS samt Herleitung und geometrischer Bedeutung schon, nur bei der Anwendung hapert es noch, da bei uns da nur ein sehr kurzes Beispiel gebracht wurde zu einer einer Ungleichung und als Hinweis für den Ansatz gesagt wurde, das man halt probieren muss...
Gibts da noch irgendwelche allgemeinen Tipps oder hilft da nur so viel Bsp. wie möglich zu üben?

07.06.2010, 20:46

Oman

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da hab ich wohl gerade ein Brett vorm Kopf!Könnte mir bitte jemand erklären warum der "komplette Term" gegen Null geht?