Grenzwert berechnen

05.06.2010, 16:45

Gemaro

Grenzwert berechnen

Ich habe Schwierigkeiten bei folgendem Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \left(sin(x)\right)^{arsinh(x)} \end{eqnarray*}$

ich denke mal ich solls mithilfe von l´Hosp machen dafür muss ich es ja in 0/0 oder so bringen

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} e^{\frac{sin(x)}{\frac{1}{arsinh(x)} } } <br /> \end{eqnarray*}$

kann ich jetzt beim exponenten den grenzwert mit l´Hosp bestimmen?

Wenn ja habe ich entweder beim ableiten einen fehler gemacht oder es funktioniert nicht.

Gibt es vlt noch eine andere Methode?

06.06.2010, 00:55

Gemaro

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kann mir keiner helfen, denn bei aufgaben die vom ähnlichen typ sind komm ich auch nie zu einem vernünftigen ergebnis.
Passt es vom Ansatz her (ausser das um das sin x noch ein ln muss)?

06.06.2010, 02:57

Max Simon

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$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} (sin(x))^{arsinh(x)}=\lim_{x\to 0}e^{ln((sin(x))^{arsinh(x)})}=\lim_{x\to 0}e^{arsinh(x)\cdot ln(sin(x))} \end{eqnarray*}$ .

Für den Exponenten hilft dir die Beziehung $\begin{eqnarray*} arsinh(x)=ln(x+\sqrt{x^2+1}) \end{eqnarray*}$ .

LG Max

06.06.2010, 08:48

Mystic

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RE: Grenzwert berechnen

Zitat:

Original von Gemaro
Ich habe Schwierigkeiten bei folgendem Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \left(sin(x)\right)^{arsinh(x)} \end{eqnarray*}$

ich denke mal ich solls mithilfe von l´Hosp machen dafür muss ich es ja in 0/0 oder so bringen

Es gibt da ein paar sehr einfache Tricks, die ich hier auch immer wieder predige, und welche das Leben um soooo viel einfacher machen... Augenzwinkern

Dazu solltest zunächst einmal sin(x) ersetzen durch (sin(x)/x) x und - abrakadabra - sin(x) ist verschwunden und du hast statt dessen den einfacheren Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^{arsinh(x)} \end{eqnarray*}$

Nun stört nur noch der arsinh(x) im Exponenten, aber den bringt man auch leicht weg, indem man nun x durch sinh(x) ersetzt und damit erhält

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} (\sinh x)^x \end{eqnarray*}$

und das schaut doch gleich viel netter aus, oder etwa nicht? Augenzwinkern

PS. Wenn dir $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac {\sinh x}x = 1 \end{eqnarray*}$ bekannt ist oder du das mit l'Hospital mal schnell ausrechnest, kannst das Spiel auch noch weiter treiben und sinh(x) für die Berechnung des Grenzwerts auch einfach durch x ersetzen, womit du dann endgültig bei dem (hoffentlich schon bekannten?) Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^x \end{eqnarray*}$

landest... Augenzwinkern

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