Grenzwert einer rekursiv definierten Folge

05.06.2010, 18:43

noranz

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Grenzwert einer rekursiv definierten Folge

Meine Frage:
Eine Folge (an) sei durch $\begin{eqnarray*} a_{0}=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{1}{1+a_{n-1}} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ definiert. Zeige: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_{n}=\frac{\sqrt{5} -1}{2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe mir gedacht, dass man dann ja Konvergenz nachweisen muss. Ich würde Monotonie und Beschränktheit zeigen. Aber ich weiß nicht wirklich wie das geht, weil die Folge ja rekursiv dargestellt ist! Wäre toll wenn mir da jemand weiter helfen könnte!

05.06.2010, 22:03

corvus

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RE: Grenzwert einer rekursiv definierten Folge
...

06.06.2010, 08:53

tmo

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Nutze $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{2}{\sqrt{5}+1} \end{eqnarray*}$ und fange so an:

$\begin{eqnarray*} \left|a_{n+1}-\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right| = \left|\frac{1}{1+a_n}-\frac{2}{\sqrt{5}+1} \right| = ... \end{eqnarray*}$

06.06.2010, 13:33

Kühlkiste

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RE: Grenzwert einer rekursiv definierten Folge
Falls Dir schon etwas über die Fibonacci-Zahlen bekannt sein sollte (die explizite Darstellung z.B.), dann könntest auch damit zum Ziel kommen.

08.06.2010, 18:18

noranz

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wie mache ich dann weiter ?

08.06.2010, 18:33

tmo

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Ich verstehe die Frage nicht. Es ist doch das natürlichste auf der Welt, dass man die 2 Brüche jetzt einfach mal addiert. Natürlich weiß man a priori nicht, dass das uns weiterbringt, aber trotzdem muss man es doch mal machen, sonst wird man es nie erfahren.

Und wenn du mir vertraust, kannst du dir sogar sicher sein, dass dich das weiterbringt, denn ich habe dir diesen Ansatz ja nicht umsonst ermpfohlen.

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08.06.2010, 19:00

noranz

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Ich werde immer noch nicht schlau daraus: Wenn ich die Brüche addiere dann bekomme ich doch $\begin{eqnarray*} |\frac{\sqrt{5} -1+2a_{n}}{(1+a_{n})(\sqrt{5}+1)}| \end{eqnarray*}$ heraus! Was bringt mir das dann?

08.06.2010, 19:01

tmo

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Du hast einen Vorzeichenfehler drin.

08.06.2010, 19:10

noranz

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Wo? Ich habs grad nochmal nachgerechnet

08.06.2010, 19:11

tmo

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Es muss im Zähler $\begin{eqnarray*} \sqrt{5}-1-2a_n \end{eqnarray*}$ lauten.

08.06.2010, 19:24

noranz

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achso, kalr hab ich auch rausbekommen, habs nur falsch abgeschrieben...aber wie ,ache ich dann weiter?

08.06.2010, 19:33

tmo

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Schau dir doch mal den Zähler genau an. Da steht doch das Folgenglied $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und der zu beweisende Grenzwert. Allerdings beides verdoppelt. Also klammern wir mal 2 im Zähler aus.

Und danach gucken wir mal hin und überlegen, was da jetzt eigentlich steht.

08.06.2010, 20:02

noranz

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Was ich bei deinem Lösungsansatz auch noch nicht verstanden hab: Was soll denn am Schluss herauskommen?

08.06.2010, 20:03

tmo

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Dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{5}-1}{2} \end{eqnarray*}$ konvergiert Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.06.2010, 20:07

noranz

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Ich meine, was soll dann bei $\begin{eqnarray*} \left|a_{n+1}-\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right| = \left|\frac{1}{1+a_n}-\frac{2}{\sqrt{5}+1} \right| = ... \end{eqnarray*}$ am Ende stehen, damit ich weiß, dass es gegen $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{5}-1}{2} \end{eqnarray*}$ konvergiert?

08.06.2010, 20:09

tmo

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Sowas wie $\begin{eqnarray*} |a_{n+1}-a| \leq q|a_n-a| \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} q<1 \end{eqnarray*}$ .

Dabei ist a der zu beweisende Grenzwert.

08.06.2010, 22:56

corvus

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RE: Grenzwert einer rekursiv definierten Folge

Zitat:

Original von noranz

Eine Folge (an) sei durch
$\begin{eqnarray*} a_{0}=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{1}{1+a_{n-1}} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ definiert.

Zeige: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_{n}=\frac{\sqrt{5} -1}{2} \end{eqnarray*}$

was meint ihr dazu:

Falls ein (noch unbekannter ) Grenzwert x existiert,

also
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_{n} = x \end{eqnarray*}$
dann ist auch
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_{n-1} = x \end{eqnarray*}$

und damit

$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{1+x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 + x - 1 = 0 \end{eqnarray*}$

und dann (wegen x>0 ) : $\begin{eqnarray*} x =\frac{\sqrt{5} -1}{2} \end{eqnarray*}$

nur so nebenbei:
der Tipp mit "Fibonacci" steht ja (unbeachtet?) auch schon weiter oben
und auch der "goldene Schnitt" spielt da ja mit.. smile

smile

usw..

08.06.2010, 23:15

tmo

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Trotzdem muss man noch zeigen, dass der Grenzwert existiert.

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