Verteilung berechnen

05.06.2010, 20:20

KleinViki

Verteilung berechnen

Hallo
Ich hab folgendes Problem

Ein Kurierdienst wirbt damit, in 98% aller Fälle pünktlich zu liefern. Die Verspätungen werden durch eine exp-verteilte Zufallsvariable X beschrieben, die mittlere Verspätung liegt bei 15 Minuten.
Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} P[X \le x | Y = 1] \end{eqnarray*}$ für positives t mit

Y = 0 , wenn die Lieferung pünktlich ist
Y = 1 , wenn die Lieferung zu spät kommt

Ich habe hier schon mal erkannt, dass ich eine bedingte Wahrscheinlichkeit ausrechnen soll. Bei Wikipedia finde ich die Formel
$\begin{eqnarray*} P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}. \end{eqnarray*}$

Mein A ist hier $\begin{eqnarray*} X \le x \end{eqnarray*}$ und B entspricht Y = 1

Also dachte ich mir

$\begin{eqnarray*} P[X \le x | Y = 1] = \frac{P(X \le x , Y = 1)}{P(Y=1)} \end{eqnarray*}$

Was nun? Kann ich einfach

$\begin{eqnarray*} \frac{P(X \le x) * P(Y = 1)}{P(Y=1)} \end{eqnarray*}$

rechnen und für $\begin{eqnarray*} P(X \le x) \end{eqnarray*}$ nun die Dichte der Exponentialverteilung einsetzen? Ich finde es bereits komisch, daß sich P(Y=1) gerade wegkürzt.

Hat wer Ratschläge?

Danke im Voraus

05.06.2010, 21:27

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Sag mal ganz genau, was diese Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ (und vor allem diese Exponentialverteilung) beschreibt.

(a) Ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ generell die Verspätung? Dann kann es nicht stimmen, dass diese Größe exponentialverteilt ist, denn dort ist $\begin{eqnarray*} P(X\leq 0)=0 \end{eqnarray*}$ in Kontrast zu der Angabe $\begin{eqnarray*} P(X\leq 0)=0.98 \end{eqnarray*}$ seitens des Kurierdienstes.

oder

(b) Ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nur die Verspätung in den 2% Fällen, wo überhaupt eine Verspätung auftritt? In dem Fall ist aber die Frage nach $\begin{eqnarray*} P(X\leq x \bigm| Y=1) \end{eqnarray*}$ ziemlich sinnlos, da das dann gerade die angegebene Exponentialverteilung ist.

oder gar

(c) Sieht man eine Lieferung noch als pünktlich an, wenn eine bestimmte Verspätung nicht überschritten, und hat damit einen Zusammenhang zwischen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ? Also z.B. $\begin{eqnarray*} Y=1_{[X>5]} \end{eqnarray*}$ , wenn Verspätungen bis zu 5 Minuten noch tolerabel sind?

Alles in allem also einige Unklarheiten in der Aufgabenstellung, die du mal klarstellen solltest!

05.06.2010, 21:45

KleinViki

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Guten Abend Arthur Dent.
Danke für deine Antwort, obwohl dir die Aufgabenstellung nicht ganz klar ist, weil sie wohl schlecht formuliert ist.

Zitat:

Original von Arthur Dent

(a) Ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ generell die Verspätung? Dann kann es nicht stimmen, dass diese Größe exponentialverteilt ist, denn dort ist $\begin{eqnarray*} P(X\leq 0)=0 \end{eqnarray*}$ in Kontrast zu der Angabe $\begin{eqnarray*} P(X\leq 0)=0.98 \end{eqnarray*}$ seitens des Kurierdienstes.

oder

(b) Ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nur die Verspätung in den 2% Fällen, wo überhaupt eine Verspätung auftritt? In dem Fall ist aber die Frage nach $\begin{eqnarray*} P(X\leq x \bigm| Y=1) \end{eqnarray*}$ ziemlich sinnlos, da das dann gerade die angegebene Exponentialverteilung ist.

Wo du es jetzt ansprichst, habe ich die Aufgabe auch gar nicht verstanden. Aber es ist Fall 2, da exp(a) herauskommen soll, wobei der Parameter a noch zu bestimmen ist. Ich glaube, an der Stelle gehen die 15 Minuten mittlere Verspätung ein?
Ich denke, dass X die Verspätung nur im Fall Y = 1 iist.

Meine Frage wäre, wie bestimme ich nun diesen Parameter a?
Das heißt ich muss analysieren

$\begin{eqnarray*} P(X\leq x \bigm| Y=1) = exp(a) = a*e^{-ax}, \ x \ge 0 \end{eqnarray*}$

Wie würde man

$\begin{eqnarray*} P(X\leq x \bigm| Y=0) \end{eqnarray*}$

bestimmen? Käme da nicht 0 heraus?

Zitat:

Original von Arthur Dent
(c) Sieht man eine Lieferung noch als pünktlich an, wenn eine bestimmte Verspätung nicht überschritten, und hat damit einen Zusammenhang zwischen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ? Also z.B. $\begin{eqnarray*} Y=1_{[X>5]} \end{eqnarray*}$ , wenn Verspätungen bis zu 5 Minuten noch tolerabel sind?

Alles in allem also einige Unklarheiten in der Aufgabenstellung, die du mal klarstellen solltest!

Nein, nein. Der Fall ist wahrscheinlich nicht gemeint.

05.06.2010, 23:07

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Zitat:

Original von KleinViki
Wie würde man

$\begin{eqnarray*} P(X\leq x \bigm| Y=0) \end{eqnarray*}$

bestimmen? Käme da nicht 0 heraus?

Nein. Keine Verspätung heißt zunächst mal, dass $\begin{eqnarray*} P(X>0 \bigm| Y=0)=0 \end{eqnarray*}$ , woraus $\begin{eqnarray*} P(X\leq 0 \bigm| Y=0)=1 \end{eqnarray*}$ und damit auch $\begin{eqnarray*} P(X\leq x \bigm| Y=0)=1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ folgt.

Ob man negative Werte für $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ (d.h. dann "zu frühe" Lieferungen) betrachtet bzw. überhaupt betrachten will, sei mal dahingestellt. Gemeint ist hier wohl eher, dass sämtliche pünktlichen (und auch überpünktlichen) Lieferungen auf den Wert $\begin{eqnarray*} X=0 \end{eqnarray*}$ abgebildet werden. In diesem Fall hat man dann einfach die bedingte Verteilungsfunktion

$\begin{eqnarray*} P(X\leq x \bigm| Y=0) = 1_{[0,\infty)}(x) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\; x<0 \\ 1 & \;\mbox{für}\; x\geq 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

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