Frage zur Flächenrechnung |
| 05.06.2010, 18:53 | chell | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Frage zur Flächenrechnung wenn ich eine Parabel habe: f(x)x^2-2 und ich eine Gerade zeichne mit g(x)=-1 und nun das Integral von f(x)-g(x), sagen wir im Intervall der Nullstellen von f(x) bilde, habe ich dann die Fläche, die zwischen den beiden Graphen liegt und an die x-Achse angrenzt oder die Fläche darunter, also die, die auf der y-Achse von -1 bis -2 verläuft? Danke! |
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| 05.06.2010, 19:02 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Frage zur Flächenrechnung Weder das eine, noch das andere. Wenn du die Schnittstellen von f mit der x-Achse berechnest (plus Minus Wurzel 2 logischerweise), und über diesem Intervall f(x)-g(x) integrierst, berechnest du die Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse einschließt und subtrahierst davon die Fläche 2*Wurzel(2). Das liefert aber über keine der beiden Teilflächen, die vollständig von den Graphen und der x-Achse eingeschlossen werden, eine Aussage. Für die untere der beiden vollständig eingeschlossenen Teilflächen müsstest du zunächst die Schnittpunkte von f und g bestimmen, und auf diesem Intervall die Differenzfunktion integrieren. Die obere der beiden Teilflächen überlasse ich dir mal als kleine Denkaufgabe. 
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| 05.06.2010, 19:08 | chell | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Für die obere Teilfläche (das ist die, die die x-Achse berührt, richtig?) würde ich folgendes machen: 1. Schnittpunkte von f und g durch Gleichsetzen berechnen. 2. Das Integral von 0 bis 1 (Schnittpunkt von f ung g) von f(x)-g(x) berechnen (=> untere Teilfäche). 3. Das Integral von f von 0 bis 1 berechnen. Diese Fläche minus die in 2. berechnete untere Teilfläche. Stimmt das so? |
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| 05.06.2010, 19:13 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, genau die meine ich damit.
Nein. Warum betrachtest du immer nur das Intervall [0,1] in deinen Rechnungen? Die Graphen schließen doch auf einem größeren Intervall Flächen mit der x-Achse ein. Der Graph von f verläuft doch beispielsweise auch durch den dritten Quadranten. Die Graphen von f und g schneiden sich ja nun auch nicht bei x=0, wie man sofort sehen sollte. |
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| 05.06.2010, 19:16 | chell | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, auf der rechten Seite schneiden sie sich doch bei x=1. Ich kann von 0 bis 1 rechnen und das dann aufgrund der Symmetrie zur y-Achse * 2 nehmen oder? |
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| 05.06.2010, 19:25 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das kannst du. Trotzdem hast du dann immer noch nicht die obere der beiden Flächen berechnet. Du musst ja bedenken, dass f auf einem ganz anderen Intervall mit der x-Achse eine Fläche einschließt, als es f und g zusammen tun. Die untere der beiden Flächen spielt sich auf dem Intervall ab, das sind ja gerade die Schnittstellen von f und g. Die obere Fläche aber wird durch die Nullstellen von f bestimmt und was diese sind, hatte ich oben schon gesagt. Folglich ist das fragliche Intervall Wenn du dich aufgrund der Symmetrie nur auf eine Seite beschränken willst (ist völlig okay), dann ist die obere der beiden Flächen eben gegeben durch Die Beträge deshalb, weil f und g unterhalb der x-Achse liegen. Wir wollen ja keine negativen Flächen haben. Edit: Mal zur Illustration: Mit deinen Rechnungen hättest du die im folgenden Bild blaue Fläche berechnet. Die wolltest du aber ja nicht haben, oder? Es wird auch schnell klar, wie groß diese Fläche wäre, das ist ja einfach 1, weil das die Fläche ist, die nur g mit der Achse einschließt. Du hättest also sowas wie f-(f-g)=g berechnet. [attach]15021[/attach] |
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| 05.06.2010, 20:08 | chell | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für die Antwort. Ich glaube jetzt versteh ich das ansatzmäßig. Das einfache Integral beherrsche ich, doch sind es oft Flächenprobleme, bei denen man weiter denken muss, die mir Probleme bereiten. |
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