Differenzieren und Umformen

05.06.2010, 21:23

JFR

Differenzieren und Umformen

Hi, ich habe folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} x_{1}= K_{1} ^{\frac{2}{3} }*L_{1} ^{\frac{1}{3} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2}= K_{2} ^{\frac{1}{6} }*L_{2} ^{\frac{1}{3} } \end{eqnarray*}$

Damit muss ich jetzt folgendes machen und vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{dx_{1} }{dL_{1} } }{\frac{dx_{1} }{dK_{1}}}=\frac{\frac{dx_{2} }{dL_{2} } }{\frac{dx_{2} }{dK_{2}}} \end{eqnarray*}$

Da habe ich dann folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{3}K_{1} ^{\frac{2}{3} }L_{1} ^{\frac{-2}{3} } }{\frac{2}{3}K_{1} ^{\frac{-1}{3} } L_{1} ^{\frac{1}{3} } } = \frac{\frac{1}{3}K_{2}^{\frac{1}{6} }L_{2} ^{\frac{-2}{3} } } {\frac{1}{6}K_{2}^{\frac{-5}{6} }L_{2} ^{\frac{1}{3} } } \end{eqnarray*}$

Durch vereinfachen komme ich dann hierzu:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{3}K_{1} }{\frac{2}{3}L_{1} } = \frac{\frac{1}{3}K_{2} }{\frac{1}{6}L_{2} } \end{eqnarray*}$

Kann ich hier noch irgendwas kürzen?

Ansonsten muss ich mit folgenden Nebenbedingungen arbeiten:

$\begin{eqnarray*} K_{1} + K_{2} = 12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L_{1} + L_{2} = 24 \end{eqnarray*}$

06.06.2010, 09:48

system-agent

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RE: Differenzieren und Umformen

Zitat:

Original von JFR
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{3}K_{1} }{\frac{2}{3}L_{1} } = \frac{\frac{1}{3}K_{2} }{\frac{1}{6}L_{2} } \end{eqnarray*}$

Kann ich hier noch irgendwas kürzen?

Du kannst jedenfalls zuerst einmal die Doppelbrüche vereinfachen.

Zu was soll die Nebenbedingung gut sein?

06.06.2010, 11:43

JFR

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RE: Differenzieren und Umformen

Zitat:

Original von system-agent

Zitat:

Original von JFR
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{3}K_{1} }{\frac{2}{3}L_{1} } = \frac{\frac{1}{3}K_{2} }{\frac{1}{6}L_{2} } \end{eqnarray*}$

Kann ich hier noch irgendwas kürzen?

Du kannst jedenfalls zuerst einmal die Doppelbrüche vereinfachen.

Zu was soll die Nebenbedingung gut sein?

Danke für den Hinweis. Wie mache ich das mit den Doppelbrüchen? hab keine Ahnung :-(

Die Nebenbedingung soll dazu gut sein, um K1 und L1 zu ersetzen, damit man dann nach K2 umformen kann. Ist eine ökonomische Aufgabe.

06.06.2010, 13:31

system-agent

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Das mit den Doppelbrüchen ist aber Schulstoff:
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c} \end{eqnarray*}$ .

06.06.2010, 13:44

JFR

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Zitat:

Original von system-agent
Das mit den Doppelbrüchen ist aber Schulstoff:
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c} \end{eqnarray*}$ .

Ok, ich bin mir nur nicht sicher, was da jetzt a, b, c und d sind. betrachte ich da nur die brüche (1/3 und 2/3) ?

Dann würde ich es so machen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} * \frac{3}{2}*\frac{K_{1} }{L_{1} } =\frac{1}{2} \frac{K_{1} }{L_{1} } \end{eqnarray*}$

06.06.2010, 15:31

system-agent

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Deinen Beitrag kann ich nicht ganz nachvollziehen.
Ich habe dir im letzten Beitrag gesagt, wie das ging mit den Doppelbrüchen.
Nun wende das jeweils an auf jeden Doppelbruch den du siehst.
Übrigens hat eine Gleichung zwei Seiten, das heisst du kannst links die $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ -Problematik eliminieren und rechts die $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ -Problematik.

06.06.2010, 16:58

JFR

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Mein Problem ist, dass ich nicht weiß was a, b, c und d sind. Wenn ich jetzt mal die eine Seite der Gleichung nehme:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{3}K_{1} }{\frac{2}{3}L_{1} } \end{eqnarray*}$

Da weiß ich nicht, ob das a

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

oder $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}K_{1} \end{eqnarray*}$ ist

weil das K1 gehört ja zu a und b. Da weiß ich nicht weiter verwirrt

06.06.2010, 17:12

JFR

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Ich glaub jetzt weiß ich es. Das K1 und L1 kommt aus dem Zähler, also:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1K_{1} }{3} }{\frac{2L_{1} }{3} } \end{eqnarray*}$

Was dann hierzu führen würde:

$\begin{eqnarray*} {\frac{1K_{1} }{3}}*\frac{3}{2L_{1} } \end{eqnarray*}$

und das Ganze kann man kürzen zu:

$\begin{eqnarray*} \frac{1K_{1} }{2L_{1} } \end{eqnarray*}$

Bevor ich das für die andere Seite der Gleichung mache warte ich erst mal ab ob das richtig ist Hammer

06.06.2010, 17:22

system-agent

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Das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ war hier gerade 1.
Nutze zuerst die Multiplikativität:
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{3}K_{1} }{\frac{2}{3}L_{1} }=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}\cdot\frac{K_1}{L_1} \end{eqnarray*}$ .
Dann hast du schliesslich nur $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$ zu vereinfachen. Mit der rechten Seite ähnlich.

Übrigens hast du recht mit deinem Resultat:
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Hier war also
$\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b=3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} c=2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} d=3 \end{eqnarray*}$ .

06.06.2010, 18:18

JFR

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Super, danke erst mal bis hier hin. Ich habe dann folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{K_{1} }{2L_{1} } = \frac{2K_{2} }{L_{2} } \end{eqnarray*}$

Allerdings muss ich jetzt auf irgendwas kommen wie:

K2=... oder L2=...

Deswegen muss ich mit den Nebenbedingungen arbeiten:

1. $\begin{eqnarray*} K_{1} + K_{2} = 12 \Rightarrow K_{1}=-K_{2}+12 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} L_{1} + L_{2} = 24 \Rightarrow L_{1}=-L_{2}+24 \end{eqnarray*}$

Wenn ich dann K1 und L1 ersetze komme ich hierzu:

$\begin{eqnarray*} \frac{-K_{2}+12 }{2\left(-L_{2}+24 \right) } =\frac{2K_{2} }{L_{2} } \end{eqnarray*}$

Ist der Ansatz richtig? Dann versuche ich mal weiter zu rechnen.

06.06.2010, 18:49

system-agent

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Du bist sicher in der Lage, die Gleichung
$\begin{eqnarray*} \frac{K_{1} }{2L_{1} } = \frac{2K_{2} }{L_{2} } \end{eqnarray*}$
zum Beispiel nach $\begin{eqnarray*} K_2 \end{eqnarray*}$ aufzulösen.

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