Vektoren löschen und Basis bestimmen

06.06.2010, 12:51

haxenmaxen

Vektoren löschen und Basis bestimmen

Meine Frage:
*
Hallo!
Ich kenne leider keinen Lösungsweg und im www habe ich auch nichts treffendes gefunden unglücklich

also gegeben ist folgende Menge von Vektoren:

M = { $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ }

Aufgaben:

Übeflüssige Vektoren löschen, sodass die restlichen Vektoren eine Basis für <M> bilden! (rechnerisch Beweisen)

(leider ist kein $\begin{eqnarray*} R^{n} \end{eqnarray*}$ gegeben)

Meine Ideen:
*
Basis heißt ja, linear unabhängig

mit dem Nullvektor lässt sich nichts anfangen, also kann der auf jedenfall weg.

Ansätze die ich gefunden habe im web waren, dass man es mit dem Gauss-Elimination-Algorithmus lösen könnte. Ich weiß leider nicht, wie ich diesen hier anwenden kann unglücklich

Ist diese Idee überhaupt richtig?

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!!

06.06.2010, 12:53

tigerbine

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RE: Vektoren löschen und Basis bestimmen
Basis des Bildes(= span der Vektoren {} ) bestimmen. [Artikel] Basis, Bild und Kern

06.06.2010, 13:26

haxenmaxen

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Definition Span:
Die Menge aller Linearkombinationen bezeichnet man als Span oder lineare Hülle der Vektorfamilie. Die Vektoren eines Spans müssen nicht zwingend linear unabhängig sein.

Müsste meine Basis nicht linear unabhängig sein?

06.06.2010, 13:32

tigerbine

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Du missverstehst meinen Satz. Ich wollte nur sagen, dass du den span deiner Vektoren als Bild dieser Vektoren auffassen kannst, um die Brücke zu den Artikel zu schlagen. Mit dem du dann eine Basis des Bildes bestimmen sollst.

06.06.2010, 13:42

haxenmaxen

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komme mit deinen Informationen leider nicht weiter unglücklich

ich suche mich dämlich ich finde einfach keinen lösungsansatz

.. mein problem ist, gauß, span, kern - das sind dinge die wir in den bisherigen vorlesungen noch nicht hatten
und diese hausaufgabe wurde uns trotzdem gestellt

kannst du mir einen leicht verständlichen lösungsansatz geben?

06.06.2010, 13:51

tigerbine

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Ich habe in dem Artikel sogar ein Beispiel vorgerechnet.... Was soll ich sonst noch machen? unglücklich

Was hattet ihr denn, wenn ihr keine der "essentiellen" Begriffe bisher hattet. verwirrt

Dass der Nullvektor raus fliegt ist klar. Du findest auch leicht 2 l.u. Vektoren.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun musst du eben ausprobieren, welche Vektoren sich noch l.u ergänzen lassen, wenn ich noch nichts hattet.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

06.06.2010, 14:15

haxenmaxen

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wozu gibt es denn solche foren? wenn ich schon alles hatte und könnte, dann würde ich hier sicherlich keine fragen stellen oder?!

wenn du keine lust hast anderen zu helfen (was man dir in meinem fall anmerkt), dann schreib auch bitte keine beiträge (qualität vor quantität).

lassen wir das. ich denke durch rumprobieren stelle ich keinen beweis auf. es muss einen originelleren lösungsweg geben der bei dir im kopf rumschwirrt.

(durch einen leicht verständlichen lösungsansatz/-weg würden solche diskussionen gar nicht erst aufkommen.)

06.06.2010, 14:22

tigerbine

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Du verwechselt hier wohl was. Ich es nicht nötig meine Beitragszahl künstlich zu erhöhen.

Ich habe dir in meinem ersten Post einen Weg genannt, wie man so was sauber ausrechnet.
-> Deine Antwort: Dieses Verfahren und Begriffe hatten wir noch nicht.

Dann habe ich dir einen Anfang zu geben, wie man sinnvol Vektoren auswählt. Anstatt weiterzumachen, kommt nur
-> das ist kein Beweis.

Was es natürlich ist, wenn man sauber argumentiert.

Wenn es eine trivialen allgemeingütligen Beweis geben würde, dann hätte ich den im Artikel schon längst geschreiben, anstatt von Leuten zu verlangen, Gauss zu rechnen.

Des weiteren nennst du mir auf Rückfragen auch nicht, was ihr in der Vorlesung schon hattet. Es kommt nur die Forderung: Es muss doch auch einfacher gehen. Ich sehe in keinem deiner Post einen Funkten von Mitarbeit, sondern nur ablehnen der vorgeschlagenen Wege.

Soll ich dir im Gegenzug nun mangelnde Lust am mitarbeiten (Boardprinzip) unterstellen? Augenzwinkern

06.06.2010, 14:40

haxenmaxen

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langsam. ich habe deinen ersten weg nie abgelehnt.
meine aussage, dass wir das im studium noch nicht hatten, bezog sich darauf, dass ich nicht verstehe was in deinem link steht - weil mir einfach die hintergrundinformationen fehlen.

mein wissen im groben:
ich weiß was linear unabhängig ist und wie man dies beweist. basis, erzeugendensystem sowie unterraum ist mir ein begriff.

meine mitarbeit:
ich suche schon lange im inet wie man den gauß-algorithmus anwendet. aber meistens snd es nur normal LGS die gelöst werden. ich hab bis jetzt noch nicht ein beispiel mit vektoren gefunden.

weiß ja nicht ob ich einfach son ein LGS aufstellen kann:
a*v1 + b*v2 + c*v3 + d*v4 + e*v5 = v6

(quasi den 6. vektor hinters ist-gleich)

.. also das aufstellen einer gleichung bereit mir schon mein grundproblem

06.06.2010, 14:43

tigerbine

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Also darf ich annehmen, dass du den Gaussalgorithmus beherrschst?

Du kennst dich mit der Matrix-Vektor-Multiplikation aus?

06.06.2010, 14:47

haxenmaxen

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nein, ich habe von gauss davor noch nie gehört.
aber ich denke wenn ich ein richtiges gleichungssystem hätte, dann könnte ich es lösen, weil es dazu genügend beispiele im netz gibt.

matrix-vektor-multplikation beherrsche ich ja.

06.06.2010, 14:49

tigerbine

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Ein LGS ist schnell aufgestellt, wenn man die Formulierung von linear unabhängig kennt. Linearkombination der Vektoren zum Nullvektor.

Vorabüberlegung:
Abzüglich des Nullvektors verbleiben dir noch 5 Vektoren. Warum können die - auch ohne Rechnung - keine Basis sein?

06.06.2010, 15:01

haxenmaxen

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also
a*v1 + b*v2 + c*v3 + d*v4 + e*v5 = 0

(der gegebene nullvektor rausgelassen)

(könnte ich prüfen ob diese schon lin. unabh. sind, habe ich ehrlich gesagt noch nicht gemacht, aber warum sollte in der aufgabe stehen, dass man vektoren löschen sollte, um die basis zu finden)

oder finde ich mit der gleichung oben auch die vektoren raus, die überflüssig sind??

06.06.2010, 15:02

tigerbine

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Nochmals zur Vorüberlegung:

Welche Dimension hat der VR aus dem die Vektoren stammen, wie viele Vektoren testen wir noch.

06.06.2010, 15:07

haxenmaxen

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die dimension des VR kenne ich nicht

oder liege ich da falsch Erstaunt2

06.06.2010, 15:08

tigerbine

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Doch, die kennst du. Guck dir doch mal die Vektoren an... Augenzwinkern

06.06.2010, 15:15

haxenmaxen

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ich erkenn das nicht Erstaunt2

für mich ist von R^2 bis R^5 alles drin Erstaunt2

wie sehe ich dass so schnell?
die summe von vielfachen mehrer vektoren könne doch einen ergeben, also gibts ja tausend möglichkeiten Erstaunt2

06.06.2010, 15:21

tigerbine

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Wie viele Zahlen stehen in einem Vektor? Das ist die Dimension des VR. Nun überlege, warum 5 Vektoren also nicht l.u. sein können.

Dann würde ich nach dem Basisergänzungssatz vorgehen. Da du ja Vektoren streichen sollst, und nicht eine neue ggf. einfachere Basis aufstellen sollst. Das würde mein Algortihmus erstmal machen, wenn man nicht "rückübersetzt".

Überlege, warum die 2 von mir rausgepickten l.u. sind.

Dann suche einen dritten, der l.u. ist. die drei dürfen sich also nur trivial zum Nullvektor kombinieren lassen.

06.06.2010, 15:36

haxenmaxen

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ok mit der dimension habe ich gepatz, hätte ich wissen müssen, dachte an was anderes sry
also R^4
somit sind 5 zu viel
aber die basis muss genau 4 l. unabh. vektoren haben?

gut frage wie du auf die 2 vektoren kommst, durch gut überlegen wahrscheinlich?! diese lassen sich durch keine anderen vektoren der menge erstellen..

06.06.2010, 15:44

tigerbine

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Richtig, 5 in dim 4 geht nicht. Es sind maximal 4 möglich. Dass heißt aber nicht, dass in deiner Menge auch 4 l.u. drin sind.

Meine beiden Vektoren. Naja, guck sie dir doch mal genau an. Wenn der eine eine Nullkomponente hat, was hat der andere an dieser Position? Damit ist klar, dass sie l.u. sind. Dir nun auch?

06.06.2010, 15:56

haxenmaxen

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ok das habe ich verstanden bei den 2en

dann schätz ich mal, dass der 1. und/oder der 5. mit darunter fallen werden, wobei das jetzt mit "hingucken" schon schwieriger wird oder!?

und wieso kann die basis aus weniger als 4 vektoren bestehen?

06.06.2010, 16:05

tigerbine

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SChreibe 4 vielfache eines Vektors hin. Die sind wohl l.a.

Nun wähle einen weiteren, und rechne nach, ob die 3 l.u. sind.

06.06.2010, 16:15

haxenmaxen

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ich hab die 2 vektoren mit allen drein übrig geblieben auf lin. unabh. getestet und iwie kommt bei mir immer raus dass sie lin. abh. sind

ich lass es, ich versteh es nicht, ich glaube mir fehlen noch zu viele grundlagen

trotz allem danke

möchte dir jetzt nicht ewig auf den senkel gehen

06.06.2010, 16:41

tigerbine

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Leute, die mitarbeiten, gehen mir nicht auf den Senkel. Augenzwinkern

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun musst du eben ausprobieren, welche Vektoren sich noch l.u ergänzen lassen, wenn ich noch nichts hattet.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wir suchen uns einen Vektor mit 0 ganz unten raus. Dann ist klar, wie man die LK zu wählen hat.

$\begin{eqnarray*} a_1\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} + a_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + a_3 \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es muss gelten $\begin{eqnarray*} a_2=2*a_1 \end{eqnarray*}$ . Damit fällt die letzte Zeile weg. Es bleibt zu prüfen.

$\begin{eqnarray*} a_1\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + 2a_1 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + a_3 \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Fassen wir zusammen.

$\begin{eqnarray*} a_1\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} + a_3 \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die beiden Vektoren sind keine Vielfachen von einander. Also sind die 3 ausgangsbetrachteten Vektoren l.u.

Hast du ein Computerprogramm wie matlab oder maple?

edit:
Das geht nun über dein Wissen hinaus. Aber der Rang einer Matrix ist die Anzahl der lin. unabhängigen Spaltenvektoren. Wenn ich die 3 Kandidaten -> 2 sind lu!, in die Spalten schreibe, dann ist der dritte für rank(A)=2 l.a., für rank(A)=3 sind die 3 l.u. Das kann dir als Probe dienen, da du dich wohl verrechnet hast. Hier mal ein matlab code:

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12: 13: 14:	A=[1,0,6;0,1,3;-2,0,-3;2,-1,0] A = 1 0 6 0 1 3 -2 0 -3 2 -1 0 >> rank(A) ans = 3

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