relative Kondition

01.11.2006, 02:55

tigerbine

relative Kondition

Servus,
habe eine Frage zum wikipedia-Artikel bzgl. dieses Themas.

http://de.wikipedia.org/wiki/Kondition_(Mathematik)

"...Aus der Definition folgt mit Umstellen sofort, dass für eine in x differenzierbare Funktion die relative Kondition $\begin{eqnarray*} \kappa_{rel} \end{eqnarray*}$ gegeben ist durch:

$\begin{eqnarray*} {{\|{{d}\over{dx}}f(x)\| \|x\|}\over{\|f(x)\|}} = \kappa_{rel} \end{eqnarray*}$ ..."

Danach soll die rel. Konditionszahl $\begin{eqnarray*} \kappa_{rel} \end{eqnarray*}$ mittel Taylor-Reihe approximiert werden. Wobei man sich auf die "Newton-Form" beschränkt, also $\begin{eqnarray*} f(\tilde x) = f(x) + f'(x)(\tilde x - x) \end{eqnarray*}$

Es wird dann $\begin{eqnarray*} \kappa _{rel} = \left\|\frac{f'(x)}{f(x)} x\right\| \end{eqnarray*}$ als gute Näherung angegeben.

Wo liegt nun der Unterschied der beiden $\begin{eqnarray*} \kappa_{rel} \end{eqnarray*}$ ?

Beim weiteren Lesen dachte ich, ein Beispiel würde Klarheit bringen. Jedoch verstehe ich hier schon die Berechnung der relativen Konditions(zahl) der ersten Komponente der Addition nicht:

"...
Addition: x1 + x2

$\begin{eqnarray*} \kappa_{1,{\rm relativ}} := \frac{\left|x_1 \right|+ \left|x_2\right|}{\left|x_1 + x_2\right|} \end{eqnarray*}$ ...''

Gruß,
tigerbine

01.11.2006, 09:48

mathemaduenn

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Hallo tigerbine,
Der Artikel in der Wikipedia ist imho etwas verschwommen.
Im eindimensionalen unterscheiden sich die 2 Formel für die relative Konditionszahl nicht(weil dann Betrag des Produkts gleich Produkt der Beträge). Im mehrdimensionalen(wenn man f' als gradient betrachten will) ist die 2. Formel einfach falsch.

Zur Kondition der Addition die 1 soll nicht die erste Komponente darstellen sondern die zugehörige Norm. (unterschiedliche Normen -> unterschiedliche Konditionszahlen) Dann folgt das wenn Du das ganze in die Definition direkt einsetzt.
viele Grüße
matheamduenn

01.11.2006, 10:16

Tarson

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RE: relative Kondition
Hallo,
würde sagen, dass die beiden Konditionsformeln das gleiche aussagen, da die unterschiedlichen Betragsstriche bei der Multiplikation keinen Unterschied machen dürften.
Ausserdem ist $\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}= f^\prime \end{eqnarray*}$ wenn f nur von einer Variablen, also x abhängt.
Wenn f von mehreren Variablen abhängt wird die Kondition für jede Variable einzeln bestimmt, dabei benutzt man dann die jeweiligen Ableitungen und bekommt unterschiedliche Konditionen.
Zu dem Beispiel:
Nehmen wir mal an: $\begin{eqnarray*} f(a,b)=a+b \end{eqnarray*}$
Dann kann man eine Kondition für a und eine für b berechnen.
Also: $\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}a}=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \kappa_a =\frac{ \mid \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}a}\cdot a \mid }{\mid f\mid } =\frac{\mid 1\cdot a \mid }{\mid a+b \mid}=\frac{\mid a \mid }{\mid a+b \mid} \end{eqnarray*}$
Analog ist dann $\begin{eqnarray*} \kappa_b =\frac{\mid b \mid }{\mid a+b \mid} \end{eqnarray*}$
Um dann aber aus den beiden Konditionszahlen, die praktisch eine Vektorgröße bilden in eine einzige Zahl umzuwandeln benutzt man Vektornormen. Bei Wikipedia wurde die 1-Norm benutzt, das heißt man summiert einfach über die einzelnen Komponenten auf.
Deshalb nennen die ihre Kondition da auch $\begin{eqnarray*} \kappa_1 \end{eqnarray*}$ .
Gruß

01.11.2006, 11:39

tigerbine

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RE: relative Kondition
Danke für die Antworten. Das Mißverständnis Komponente - Norm rührt wohl daher, dass unser Prof. das immer Komponentenweise augerechnet hat, aber nachher nicht zusammengefasst hat. (Im Grunde so wie Tarson es gemacht hat)

Zitat:

Mathemaduenn

Im eindimensionalen unterscheiden sich die 2 Formel für die relative Konditionszahl nicht(weil dann Betrag des Produkts gleich Produkt der Beträge).

Das hatte ich auch so vermutet, nur warum steht dann im Artikel einmal "exakter Wert" und einmal "gute Näherung" ?

Gruß,
tigerbine

01.11.2006, 13:30

mathemaduenn

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Hallo tigerbine,
Das ist halt wikipedia je nachdem wer den Artikel geschrieben verbessert(oder verschlimmbessert) hat stimmt das eben nicht unbedingt. Wobei ich gestehen muß das ich an diesem Artikel selbst die Formeln "verschönert" habe ohne zu überlegen ob das alles sinnvoll ist Forum Kloppe

grüße
mathemaduenn

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