Orthogonale Matrix bilden

06.06.2010, 13:10	Zwerg Nase	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonale Matrix bilden Folgende Matrix ist gegeben: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3} } & \frac{1}{\sqrt{2} } & \frac{1}{\sqrt{6} } \\ & -\frac{1}{\sqrt{2} } & * \\ * & 0 & * \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Auf welche Weise kann diese zu einer orthogonalen Matrix vervollständigt werden? ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Zuerst schien mir diese Matrix ganz gut: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3} } & \frac{1}{\sqrt{2} } & \frac{1}{\sqrt{6} } \\ \frac{1}{\sqrt{3} } & -\frac{1}{\sqrt{2} } & \frac{1}{\sqrt{6} } \\ \frac{1}{\sqrt{6} } & 0 & -\frac{1}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aber leider geht das Ganze nicht auf, wenn man daraus die Einheitsmatix bilden will ... folgendes kommt dabei raus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Anschließend habe ich mir noch diese Matrix überlegt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3} } & \frac{1}{\sqrt{2} } & \frac{1}{\sqrt{2} } \\ \frac{1}{\sqrt{3} } & -\frac{1}{\sqrt{2} } & \frac{1}{\sqrt{6} } \\ \frac{1}{\sqrt{2} } & 0 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aber das scheint auch nicht viel besser zu sein ... die Berechnung zur "Einheitsmatrix" ergibt zwar eine Digonale aus einsen aber der Rest von Zeile und Spalte drei will sich nicht beugen. Jetzt sind für mich diese ganzen Verwurzelungen schon unübersichtlich genug, da frag ich mich an welchen Punkten man greifen kann, um Umstellungen vorzunehmen ohne im Dschungel zu enden. Ich habe schon versucht jeweils das Vielfache zu nehmen, um auf einen präzisen Wert zu kommen aber das endet auch in unendlichen Bereichen ... vielleicht bin ich aber auch falsch in die Aufgabe gestartet.
06.06.2010, 14:41	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du an Stelle der Sternchen die Variablen a,b,c,d einträgst und $\begin{eqnarray} QQ^T=E \end{eqnarray}$ berechnest, bekommst du hinreichend viele Gleichungen für die Variablen.
08.06.2010, 00:01	Ola1989	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sitze auch schon den ganzen Abend an der Aufgabe. Ich habe das auch mit einem Gleichungssystem versucht nur leider kommt bei mir da nur etwas raus wie b²=-1/4 Das wäre ja dann komplex. Vielleicht kann mir einer von euch helfen.
08.06.2010, 14:28	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Einer von uns beiden hat sich verrechnet. Ich bekomme prima reelle Lösungen aus $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac 1 {\sqrt 3} & \frac 1 {\sqrt 2} & \frac 1 {\sqrt 6} \\ a & - \frac 1 {\sqrt 2} & b \\ c & 0 & d \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \frac 1 {\sqrt 3} & a & c \\ \frac 1 {\sqrt 2} & - \frac 1 {\sqrt 2} & 0 \\ \frac 1 {\sqrt 6} & b & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} & * & \frac c {\sqrt 3}+ \frac d {\sqrt 6} \\ \frac a {\sqrt 3}-\frac 1 2 + \frac b {\sqrt 6} & a^2- \frac 1 2 +b^2 & * \\ * & * & c^2+d^2 \end{pmatrix}=E \end{eqnarray*}$

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