e-Funktion - Aufgabe

06.06.2010, 15:51

geezz

e-Funktion - Aufgabe

Edit (mY+): Bitte keine Hilfeersuchen in der Überschrift. Titel modifiziert.

Hi! Ich bräuchte eine kleine Hilfestellung zur folgenden Aufgabe und hoffe ihr könnt mir weiterhelfen! Wink

(Ihr könnt mich auch verbessern wenn ich einen Fehler gemacht hab Big Laugh

)

Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=(4x+4)e^{-0.5x} \end{eqnarray*}$ .
a) Führen Sie eine Kurvendiskussion durch (Ableitungen, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Extrema, Wendepunkt, Verhalten für $\begin{eqnarray*} x\rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\rightarrow -\infty \end{eqnarray*}$

c) Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente an den Graphen von f. Diese Wendetangente und die beiden Koordinatenachsen begrenzen ein Dreieck. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

d) Unter welchem Winkel schneidet die Wendetangente aus c) die f(x)-Achse?

e) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f.

f) Der Graph von f, die x-Achse sowie die Gerade x=4 schließen eine Fläche ein. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.

g) Auf dem Graphen von f liegt der Punkt $\begin{eqnarray*} P(x_{0}|f(x_{0})) \end{eqnarray*}$ im 1. Quadranten. Die Paralellelen zu den Koordinatenachsen durch P und die Koordinatenachsen begrenzen ein Rechteck. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes P so, dass der Inhalt dieser Rechteckfläche maximal wird. Geben Sie den maximalen Flächeninhalt an.
____________________________

zu a):
I. Ableitungen (Produktregel)
$\begin{eqnarray*} f'(x)=-0.5e^{-0.5x}*(4x+4)+e^{-0.5x}*4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f'(x)=-2e^{-0.5x}*(4x+4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=e^{-0.5x}*(4x+4)-2e^{-0.5x}+4 \Rightarrow f''(x)=-8e^{-0.5x}*(4x+4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=4e^{-0.5x}*(4x+4)-8e^{-0.5x}*4 \Rightarrow f'''(x)=-128e^{-0.5x}*(4x)+4) \end{eqnarray*}$ ???? sieht falsch aus

II. Nullstellen (Notwendige Bedingung: $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ )

den Teil mit $\begin{eqnarray*} e^{-0.5x} \end{eqnarray*}$ kann ich doch weglassen weil das nie Null wird, oder?

$\begin{eqnarray*} f(x)=0 (4x+4)*e^{-0.5x}=0 4x+4=0 |-4 4x=-4 |/4 x_{N1}=-1 \end{eqnarray*}$
Der Graph von f schneidet die x-Achse in dem Punkt $\begin{eqnarray*} x_{N1}((-1)|0) \end{eqnarray*}$

III. Extrema (Notwendige Bedingung: $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$ ) hier fangen meine Probleme an unglücklich

wenn man $\begin{eqnarray*} e^{-0.5x} \end{eqnarray*}$ auslässt, bleibt doch wieder nur (4x+4) stehe d.h., dass der Punkt wieder bei (-1) sein wird, oder? Dasselbe wäre dann bei den Wendepunkten! Was heisst das für mich? (-1) kann doch nicht Wende- und Extrempunkt gleichzeitig sein?!
Wäre nett, wenn mir jemand auch den Funktionsgraphen zeigen könnte! Ich hab leider keinen Scanner und der Funktionsplotter geht irgentwie mit e-Funktionstermen nicht! (zumindest für mich nicht)

V. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
$\begin{eqnarray*} f(0)=e^{-0.5x}*(4x+4) f(0)=e^{-0.5x*0}*(4*0+4) f(0)=1*4=4 \end{eqnarray*}$

Der Graph von f schneidet die f(x)-Achse im Punkt $\begin{eqnarray*} S_{f(x)}(0|4) \end{eqnarray*}$

VI. Verhalten im $\begin{eqnarray*} x\rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \rightarrow -\infty \end{eqnarray*}$

Der Graph geht vom $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ aus in den 1. Quadranten und verlässt ihn nicht mehr. (???????? Ich weiss nicht wie ich das hier schreiben soll!)
___________________________

zu c)
kann ich noch nicht machen weil ich noch nicht weiss ob es einen Wendepunkt gibt.

zu d)
s.o.

zu e)
Stammfunktion finden
$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{-0.5x}*(4x+4) F(x)=-2e^{-0.5x}*(2x^{2}+4x) \end{eqnarray*}$

zu f)
1. Schnittpunkte der beiden Graphen f(x) und g(x) (der erste Schnittpunkt ist klar bei $\begin{eqnarray*} S_{1}(0|4) \end{eqnarray*}$ , brauche aber trotzdem Hilfe traurig

)
$\begin{eqnarray*} f(x) = g(x) e^{-0.5x}*(4x+4) = 4 4xe^{-0.5x}+4e^{-0.5x}= 4 xe^{-0.5x}+e^{-0.5x}=1 2e^{-0.5x}= \frac{1}{x} ln2*(-0.5x)=ln \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ und hier komme ich nicht mehr weiter! Was muss ich jetzt machen? Kehrwert?

zu g)
Zu dieser Aufgabe habe ich keinerlei Ansatz! Wie schreibe ich es denn wenn ich etwas auf "maximal" setzen will? verwirrt

Bin über jede Hilfe dankbar!
//EDIT: Ansatz: P liegt auf dem Graphen und durch die gehen zwei Geraden, die jeweils parallel zu den Achsen sind, d.h. ich muss P auf dem Graphen so setzen, sodass die Fläche zwischen den Achsen und den Geraden so groß wie möglich werden. Hilft mir aber irgentwie auch nicht weiter unglücklich

__________________________

So das wär's erstmal! Ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen!

Danke im voraus,
/Steve

06.06.2010, 16:47

Vinyl

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Wow, hast dir richtig mühe gegeben. Freude

Ich plotte ersteinmal die Funktion:

[attach]15033[/attach]

Aber bei der ersten Ableitung hast du doch 2 Summanden. Der Extrempunkt und die Wendestelle sind also nicht bei x=-1.
Kannst du daraus etwas machen?
Ersteinmal soweit.

Viel Erfolg
Vinyl

06.06.2010, 23:24

geezz

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Danke schonmal für die Antwort!
Jedoch verstehe ich es immernoch nicht warum da 2 Summanden sind in der 1. Ableitung!
Da steht doch(sofern meine Ableitungen richtig sind):

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{-0.5x}*(4x+4) e^{-0.5x} \neq 0 \end{eqnarray*}$
dann bleibt:
$\begin{eqnarray*} 4x+4=0 \Rightarrow 4x=-4 \Rightarrow x=-1 \end{eqnarray*}$
dasselbe steht doch jetzt auch bei der 1.Ableitung:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=-2e^{-0.5x}*(4x+4) -2e^{-0.5x} \neq 0 \end{eqnarray*}$
dann bleibt doch wieder:
$\begin{eqnarray*} 4x+4=0 \end{eqnarray*}$
oder seh ich das falsch?

Aus dem Graphen seh ich, dass die Extremstelle von f nicht bei (-1) liegt und Wendepunkt schon gar nicht!

07.06.2010, 00:24

Mulder

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Deine Ableitung (die erste) stimmt schon mal nicht. Du fasst da falsch zusammen.

Zitat:

Original von geezz
zu a):
I. Ableitungen (Produktregel)
$\begin{eqnarray*} f'(x)=-0.5e^{-0.5x}*(4x+4)+e^{-0.5x}*4 \end{eqnarray*}$

Das ist noch okay. Aber dann:

Zitat:

Original von geezz
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f'(x)=-2e^{-0.5x}*(4x+4) \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. ich kann auch noch nichtmal sagen, was du dir dabei gedacht hast. Vielleicht fällt es dir ja leichter, wenn du vor dem Zusammenfassen erstmal alles ausmultiplizierst. Beachte Punkte vor Strich!

07.06.2010, 01:21

geezz

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Hi! Danke für die Antwort!

Hab mal ausmultipliziert:
$\begin{eqnarray*} -0.5e^{-0.5x}*(4x+4)+e^{0.5x}*4 \Rightarrow -2xe^{-0.5x}-2e^{-0.5x}+4e^{-0.5x} \Rightarrow e^{-0.5x}*(4-2-2x) \Rightarrow e^{-0.5x}*(2-2x) \end{eqnarray*}$
so jetzt richtig?

/Steve

//EDIT:
so wäre die Extremstelle bei x=1?
$\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \Rightarrow -2x+2=0 \Rightarrow 2x=2 \Rightarrow x=1 \end{eqnarray*}$

2. Ableitung:
$\begin{eqnarray*} f''(x)=-0.5e^{-0.5x}*(2-2x)+e^{-0.5x}*2 \Rightarrow -e^{-0.5x}+xe^{-0.5x}+2e^{-0.5x} \Rightarrow e^{-0.5x}*(x+2-1) \Rightarrow e^{-0.5x}*(x+1) \end{eqnarray*}$
wäre das dann richtiger?

07.06.2010, 01:28

Mulder

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Ja, so passt es. Die Extremstelle kannst du nun ja auch sofort ermitteln (bzw. bestätigen, man sieht sie ja schon in der Skizze).

Die 2 hättest du sonst auch noch mit ausklammern können, aber gut, das ist dann eher Kosmetik.

07.06.2010, 01:33

geezz

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dickes Dankeschön!

Könntest du dir eventuell auch noch meine anderen Aufgabenansätze angucken wenn du nicht gleich schlafen gehen willst? Gott

(also die Stammfunktion und den Schnittpunkt zwischen den Graphen f und g)

/Steve

07.06.2010, 01:49

geezz

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mhhh hab glaub ich ein Fehler gemacht bei der 2. Ableitung (wieder)
müsste es nicht so aussehen? :
$\begin{eqnarray*} f''(x)=e^{-0.5x}*(2x-1) \Rightarrow 2x=1 \Rightarrow x=0.5 \end{eqnarray*}$
oder? weil oben steht ja in dem letzteren Term $\begin{eqnarray*} e^{-0.5x}*2 \end{eqnarray*}$
also müsste es in der Klammer ja auch eine Multiplikation sein, nicht?

07.06.2010, 01:52

Mulder

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Also ich will jetzt nicht mehr alles durchkauen, dafür ist es mir auch etwas zu spät. Morgen ist Uni und so... Augenzwinkern

Aber die zwei Sachen noch: Bei der Stammfunktion scheinst du einfach jeden der beiden Faktoren separat integriert zu haben. Das darf man natürlich nicht. Du darfst summandenweise integrieren, aber nicht "faktorweise". Hier hilft partielle Integration weiter.

Bei den Schnittpunkten: Lies die Aufgabe nochmal genau!

Zitat:

Der Graph von f, die x-Achse sowie die Gerade x=4 schließen eine Fläche ein. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.

Da steht nichts von der konstanten Funktion f(x)=4. Da steht die Gerade x=4. Das ist die Gerade, die parallel zur y-Achse verläuft und die x-Achse eben an der Stelle x=4 schneidet. Da steht auch extra "Gerade", weil x=4 eben keine Funktion darstellt (das widerspricht der Definition einer Funktion, wie du dir schnell klar machen kannst).

07.06.2010, 01:58

geezz

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Ohh....danke geschockt

Bin 'ne Niete in Mathe smile

Ich wünsch dir dann eine gute Nacht!

07.06.2010, 02:00

Mulder

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Bei der zweiten Ableitung machst du einen kleinen Fehler:

Zitat:

Original von geezz
2. Ableitung:
$\begin{eqnarray*} f''(x)=-0.5e^{-0.5x}*(2-2x)+e^{-0.5x} *2 \end{eqnarray*}$

Du multiplizierst da am Ende mit 2, aber die Ableitung von (2-2x) ist ja -2. Du kehrst das Minus hier unter den Teppich. Ich komme dann am Ende auf

$\begin{eqnarray*} f''(x) = e^{-\frac 1 2 x} \cdot (x-3) \end{eqnarray*}$

Jetzt bin ich aber auch weg. Gute Nacht und frohes Schaffen noch! Augenzwinkern

07.06.2010, 10:46

Vinyl

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Sorry das ich mich nicht mehr gemeldet habe, geezz. Aber Mulder hat ja hilfreich übernommen.

Bei Aufgabe a) VI musst du auch noch mal überprüfen ob es stimmt.
Mit der Skizze ist es ja nun etwas einfacher.

Vinyl

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