Grenzwert und Monotonie einer Folge

06.06.2010, 17:46

Matheversteher

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Grenzwert und Monotonie einer Folge

Hallo Matheboarder Wink

Wink

Ich sitze an Folgender Aufgabe (im Anhang), offensichtlich fehlt ein Exponent, sodass es heißen muss $\begin{eqnarray*} (1 + \frac {1}{n})^n \end{eqnarray*}$ .
Leider bin ich mal wieder absolut überfordert mit der Aufgabe unglücklich

unglücklich

.

ich habe mich zuerst an der monotonie versucht.

n --> n+1

$\begin{eqnarray*} (1 + \frac {1}{n})^n < (1 + \frac {1}{n+1})^{n+1} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} (1 + \frac {1}{n})^n < (1 + \frac {1}{n+1})^{n} * (1+ \frac {1}{n+1}) \end{eqnarray*}$

so und hier komme ich nicht mehr weiter.

(allerdings weis ich, dass $\begin{eqnarray*} (1 + \frac {1}{n})^n > (1 + \frac {1}{n+1})^{n} \end{eqnarray*}$
da n+1 > n ) <-- weis nicht ob das relevant ist.

was kann ich nun machen?
vielen dank für eure hilfe
gruß flo

06.06.2010, 18:04

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Versuche die Behauptung unter Nutzung der Potenzgesetze so umzuformen, dass nur noch eine einzige Potenz mit Exponent n (oder n+1) stehenbleibt. Anschließend hilft die Bernoullische Ungleichung, diese dann entstehende Ungleichung nachzuweisen.

Zitat:

Original von Matheversteher
(allerdings weis ich, dass $\begin{eqnarray*} (1 + \frac {1}{n})^n > (1 + \frac {1}{n+1})^{n} \end{eqnarray*}$
da n+1 > n ) <-- weis nicht ob das relevant ist.

Ist zwar richtig, aber es hilft nicht, weil viel zu "grob" für die nachzuweisende Behauptung.

06.06.2010, 18:55

Matheversteher

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verwirrt

also ich habe jetzt weiter umgeformt, aber i-wie bn ich mit dem ergebniss nicht zufrieden es sieht zu kompliziert aus, als dass man damit "vernünftig" weiter rechnen kann.

= $\begin{eqnarray*} (1 + \frac {1}{n})^n < (1 + \frac {1}{n+1})^{n} * (1+ \frac {1}{n+1}) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} (1 + \frac {1}{n})^n < (1 + \frac {1}{n+1})^{n} + ((1 + \frac {1}{n+1}) * \frac {1}{n+1}) \end{eqnarray*}$

nun habe ich aus $\begin{eqnarray*} \frac {1}{n+1} = { \begin{pmatrix} \sqrt[n]{\frac {1}{n+1}} \end{pmatrix}}^n \end{eqnarray*}$ gemacht.

so habe ich überall den exponenten "n"

und es folgt
= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 + \frac {1}{n}\end{pmatrix}^n < \begin{pmatrix}1 + \frac {1}{n+1}\end{pmatrix}^{n} + \begin{pmatrix}\begin{pmatrix} \sqrt[n]{\frac {1}{n+1}} \end{pmatrix} * \frac {1}{(n+1)^{(n+1)/n}}\end{pmatrix}^n \end{eqnarray*}$

oder ist es das?
und wie mache ich, angenommen das ist richtig, nun die ungleichung? verwirrt

verwirrt

06.06.2010, 21:06

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Ich hatte eigentlich an was viel einfacheres gedacht, nämlich

Zitat:

Original von Matheversteher
$\begin{eqnarray*} \left(1 + \frac {1}{n} \right)^n < \left(1 + \frac {1}{n+1} \right)^{n+1} \end{eqnarray*}$

durch $\begin{eqnarray*} \left(1 + \frac {1}{n} \right)^{n+1} \end{eqnarray*}$ zu dividieren, das ergibt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1 + \frac {1}{n}} < \left( \frac{1 + \frac {1}{n+1}}{1 + \frac {1}{n}} \right)^{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Nun das ganze mal kräftig vereinfachen, d.h. die ganzen Doppelbrüche beseitigen...

07.06.2010, 09:42

Matheversteher

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wenn ich es so mache, dann habe ich am ende

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1 + \frac {1}{n}} < \left( \frac{1 + \frac {1}{n+1}}{1 + \frac {1}{n}} \right)^{n+1} \end{eqnarray*}$ ... $\begin{eqnarray*} \frac {n} {n+1} < \begin{pmatrix} \frac { (n+1)^2-1} { (n+1)^2} \end{pmatrix}^{n+1} \end{eqnarray*}$ ... $\begin{eqnarray*} \frac {n^2+3n+1}{n^2+2n+2} < \begin{pmatrix} \frac { (n+1)^2-1} { (n+1)^2} \end{pmatrix}^n \end{eqnarray*}$

stimmt da soweit?gefällt mir auch nicht sowirklich auf dem ersten bruch könnte noch mit hilfe der binomischen formel im zähler und nenner umgeformt werden, wenn es denn stimt.

und nun muss ich die beträge bilden und mit der ungleichung arbeiten. welcher betrag muss denn dann kleiner als was sein? verwirrt

verwirrt

07.06.2010, 10:48

Kühlkiste

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Sei

$\begin{eqnarray*} a_n:=\left(1+\frac 1n\right)^n \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} b_n:=\left(1+\frac 1n\right)^{n+1}. \end{eqnarray*}$

Berechne:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{b_{n-1}}=\ldots=\left(1-\frac 1{n^2}\right)^n \end{eqnarray*}$

und schätze mit der Bernoullischen Ungleichung ab.

Folgere aus der gewonnen Abschätzung:

$\begin{eqnarray*} a_n\geq\left(1-\frac 1n\right)b_{n-1}=\ldots=a_{n-1}. \end{eqnarray*}$

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07.06.2010, 10:55

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Bleiben wir mal bei deiner mittleren Umformung

Zitat:

Original von Matheversteher
$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n+1} < \left( \frac{(n+1)^2-1} {(n+1)^2} \right)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Ich habe nicht ohne Grund Exponent $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ hier gewählt, es ist kontraproduktiv, diese Struktur dann anschließend zu zerstören.

Etwas anders geschrieben lautet diese Ungleichung nämlich

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{n+1} < \left( 1-\frac{1} {(n+1)^2} \right)^{n+1} \end{eqnarray*}$ ,

was nun DIREKT aus der Bernoullischen Ungleichung folgt - man muss nur genau genug hinschauen.

07.06.2010, 11:24

Matheversteher

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okeee habe soweit alles verstanden Arthur Dent.
Jetzt kommt die Bernoullische Ungleischung bei der ich nicht weis wie ich so korrekt (oder überhaupt) anwende.

sie lautet |a+b| < |a| + |b|

Zitat:

Original von Arthur Dent was nun DIREKT aus der Bernoullischen Ungleichung folgt - man muss nur genau genug hinschauen.

also es tut mir echt leid aber ich sehe es nicht. unglücklich

unglücklich

ich kann nicht mehr als raten in diesem falle.
$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{n+1} < \left( 1-\frac{1} {(n+1)^2} \right)^{n+1} < \left( |1|+|-\frac{1} {(n+1)^2}| \right)^{n+1} < \left( |1|+|-\frac{1} {n^2}| \right)^{n+1}< \left( |1|+|-\frac{1} {n}| \right)^{n+1} \end{eqnarray*}$

07.06.2010, 11:33

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Matheversteher
Jetzt kommt die Bernoullische Ungleischung bei der ich nicht weis wie ich so korrekt (oder überhaupt) anwende.

sie lautet |a+b| < |a| + |b|

unglücklich

Das kann ich jetzt nicht glauben...

Schon in der Aufgabenstellung wurdest Du explizit dazu aufgefordert die Bernoulli-Ungleichung zu benutzen.
Offensichtlich hast Du aber noch immer keinen blassen Schimmer was sie aussagt.
So kann's beim besten Willen nicht klappen.

07.06.2010, 11:44

Matheversteher

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Hammer

aii ich war grad mit meinen gedanken glaube ich grad ganz woanders, das war die dreiecksungleichung, das war grad peinlich Forum Kloppe

Forum Kloppe

moment ich poste gleich nochmal was.

07.06.2010, 14:37

Matheversteher

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so also ich habe nun mal abgeschätzt, allerdings weis ich nicht ob es ausführlich genug ist.

$\begin{eqnarray*} \left( 1-\frac{1} {(n+1)^2} \right)^{n+1}=\left( 1-\frac{1} {(n+1)^2} \right)^{n}*\left( 1-\frac{1} {(n+1)^2} \right) <br /> \geq \left( 1- n*\frac{1} {(n+1)^2} \right) * \left( 1-\frac{1} {(n+1)^2} \right) <br /> \geq \left( 1- \frac{1} {(n+1)^2} \right) * \left( 1-\frac{1} {(n+1)^2} \right)<br /> \geq \left( 1- \frac{1} {(n+1)^2} \right) \end{eqnarray*}$

--> $\begin{eqnarray*} \left( 1-\frac{1} {(n+1)^2} \right)^{n+1} > \left( 1- \frac{1} {(n+1)^2} \right) \end{eqnarray*}$
reicht das so, bzw ist es richtg?

so und wie mache ich das nun mit dem $\begin{eqnarray*} lim_n \end{eqnarray*}$ ?
ich hätte da jetzt gezeigt, dass es ein supremum gibt. aber kein maximum. das supremum soll 3 sein. aber was/ wie mache ich es mit dem 64/27?

07.06.2010, 16:17

AD

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Zitat:

Original von Matheversteher
reicht das so, bzw ist es richtg?

Es ist so schlimm, dass ich es gar nicht weiter kommentieren möchte.

Es kann doch wirklich nicht so schwer sein: Die Bernoulli-Ungleichung sagt

$\begin{eqnarray*} (1+x)^m \geq 1+mx \end{eqnarray*}$

für alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ und alle reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} x\geq -1 \end{eqnarray*}$ . Das nutzt du hier für $\begin{eqnarray*} m=n+1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} x=-\frac{1}{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$ , schon bist du fertig mit dem Monotoniebeweis.

07.06.2010, 17:41

Matheversteher

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ja ich muss dich da echt enttäuschen, aber ICH!!! finde es schwer böse

böse

und du hast mir nicht mal gesagt, was ich falsch gemacht habe, bzw warum ich falsch abgeschätzt habe (mal davon abgesehen, dass es "nicht kommentierbar").

wenn ich das jetzt so mache wie ich es verstehe b zw du es mir so präsentierst, dann habe ich
$\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1} \geq1- \frac{(n+1)}{(n+1)^2} = 1- \frac{1}{(n+1)} \end{eqnarray*}$
aber das soll alles sein? das kann ich doch dann unmöglich so aufschreiben, falls das überhaupt richtig ist?!

wenn das oben richtig ist, dann mache ich hier weiter.
und was mache ich nun bei der limes geschichte oder warum steht denn da noch 64/27? also das das ganze nicht größer als 3 wird, kann ich noch nachvollziehen. aber warum sit das denn auch größer als 64/27?

07.06.2010, 17:44

AD

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Zitat:

Original von Matheversteher
aber das soll alles sein? das kann ich doch dann unmöglich so aufschreiben, falls das überhaupt richtig ist?!

Anscheinend hast du den ganzen Thread gepennt. böse

böse

Was haben wir (oder sollte ich besser sagen: ich) oben gemacht? Die Monotoniebehauptung äquivalent umgeformt bis eben zu genau dieser Ungleichung, die nunmehr durch Bernoulli verifiziert wurde.

Mir reicht's - Tschüss. Wink

Wink

07.06.2010, 18:00

Matheversteher

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schade, dass du gehst. aber wenn ich es einfach finden würde, dann würde ich das ganze hier nicht posten das sollte dir klar sein Augenzwinkern

Augenzwinkern

ich hoffe jemand anderes hilft mir nun weiter.

ich danke dir Arthur Dent dass du mir geholfen hast Freude

Freude

und so lange durchgehalten hast (wahrscheinlich mit ein paar grauen haaren mehr Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

gruß flo

09.06.2010, 15:49

Matheversteher

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hallo matheboarder,
ich hänge immer noch an dieser aufgabe...
ich hoffe mir kann jemand weiter helfen, nachdem Arthur Dent entnervt, dass handtuch geschmissen hat.
also ich suche den grenzwert.
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = \left(1+\frac{1}{n} \right) = e \end{eqnarray*}$
mhh was ich jetzt nicht ganz verstehe ist, warum sind die grenzen so gewählt
$\begin{eqnarray*} \frac{64}{27}<...\leq 3 \end{eqnarray*}$ also warum wählt man auf der einen seite 64/27 statt 2? oder auf der anderen seite statt 3 nicht einen bruch mit $\begin{eqnarray*} e<n_1/n_2 \end{eqnarray*}$ ?

um eine lsöung zu erhalten, bzw einen näherungswert für e, könnte ich da cauchy anwenden oder bin dann auf dem holzweg?

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