Normalteiler und Automorphismen

06.06.2010, 17:56	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalteiler und Automorphismen Es sei $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ein Automorphismus auf der endlichen Gruppe $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ das direkte Produkt der Normalteiler $\begin{eqnarray} U, N \end{eqnarray}$ . Also $\begin{eqnarray} G = U \otimes N \end{eqnarray}$ Weiterhin seien $\begin{eqnarray} \|N\|, \|U\| \end{eqnarray}$ teilerfremd. Ich weiss nun, dass $\begin{eqnarray} \varphi(U) \end{eqnarray}$ Normalteiler von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ist und von der gleichen Ordnung ist wie $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ . Das gleiche gilt auch für $\begin{eqnarray} \varphi(N) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ . Jetzt steht hier, dass daraus schon folgen muss, dass $\begin{eqnarray} \varphi(U) = U, \varphi(N) = N \end{eqnarray}$ . Wie sieht man das?
06.06.2010, 22:46	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, zunächst mal was klar sein sollte: Sind $\begin{eqnarray} \|N\| \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|U\| \end{eqnarray}$ teilerfremd, so ist ihr Schnitt trivial (betrachte die Ordnung eines Elements im Schnitt) Haben zwei Normalteiler trivialen Schnitt und ist $\begin{eqnarray} n \in N, u \in U \end{eqnarray}$ so gilt: $\begin{eqnarray} nu=un \end{eqnarray}$ (da $\begin{eqnarray} u^{-1}nun^{-1} \end{eqnarray}$ sowohl in N als auch in U) Ist nun $\begin{eqnarray} G=NU \end{eqnarray}$ so lässt sich jedes Element $\begin{eqnarray} g\in G \end{eqnarray}$ darstellen als $\begin{eqnarray} nu \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n \in N, u \in U \end{eqnarray}$ . Die Ordnung von g ist dabei das kgV der Ordnungen von n und u. So nun zum eigentlichen Teil. Sei $\begin{eqnarray} u \in U \end{eqnarray}$ . Dann gilt wegen $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ Automorphismus: $\begin{eqnarray} ord(u)=ord(\phi(u)) \end{eqnarray}$ Angenommen es wäre $\begin{eqnarray} \phi(u) \notin U \end{eqnarray}$ dann wäre $\begin{eqnarray} \phi(u)=nu' \end{eqnarray}$ . Mit n und u' entsprechend wiederr aus N bzw. U und $\begin{eqnarray} n\neq1 \end{eqnarray}$ . Dann wäre aber die Ordnung von $\begin{eqnarray} \phi(u) \end{eqnarray}$ ein Vielfaches der Ordnung von n und damit kein Teiler der Ordnung von $\begin{eqnarray} \phi(U) \end{eqnarray}$ mehr, da diese (wegen des Automorphismus') mit der Ordnung von U übereinstimmt. Widerspruch zum Satz von Lagrange. Also gilt für alle u aus U ist $\begin{eqnarray} \phi(u) \in U \end{eqnarray}$ . Analog für N.
06.06.2010, 23:43	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh, so ist das also! Das Argument mit der Ordnung ist natürlich gut. Danke vielmals.

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