bernoullische Ungleichung und eulersche Zahl

01.11.2006, 11:07

Reliefpfeiler

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bernoullische Ungleichung und eulersche Zahl

Guten Tag erstmal,
ich bräuchte dringend jemand, der mir erklären kann was es mit der bernoullischen ungleichung auf sich hat... Es geht darum, die eulersche Zahl zu bewesen, sprich den grenzwert der Folge an= (1+1/n)^n
Dann wird folgender Therm aufgestellt: an+1/an und vereinfacht bis da steht:

$\begin{eqnarray*} (1 - \frac{1}{(n+1)^{2}} )^{n+1} * (1 + \frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$

nun das ganze in die bernoullische ungleichung eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} (1 - \frac{1}{(n+1)^{2}} )^{n+1} * (1 + \frac{1}{n}) > (1 - \frac{n+1}{(n+1)^{2}} ) * (1 + \frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$

Ja hmm... und dann die rechte seite nach 1 aufgelöst und damit soll dann bewiesen sein, dass die folge streng monoton steigend ist....
Was ich jetzt nicht verstehe: Was genau bringt die bernoulische ungleichung? und warum ist das ziel erreicht wenn auf der rechten seite 1 rauskommt? oO

hoffe mir kann das jemand erklären =)
danke schonmal im vorraus

01.11.2006, 11:12

Serpen

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RE: bernoullische Ungleichung und eulersche Zahl
Schau doch mal hier vorbei:

http://de.wikipedia.org/wiki/Bernoullische_Ungleichung

01.11.2006, 11:13

therisen

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Wenn $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} > 1 \end{eqnarray*}$ gilt ist das doch äquivalent zu $\begin{eqnarray*} a_{n+1}>a_n \end{eqnarray*}$ (wenn $\begin{eqnarray*} a_n \neq 0 \end{eqnarray*}$ ).
Die bernoullische Ungleichung wird eben dazu benutzt, um zu zeigen, dass obiger Quotient echt größer als 1 ist und die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ somit streng monoton wachsend.

Gruß, therisen

01.11.2006, 11:16

sqrt(2)

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RE: bernoullische Ungleichung und eulersche Zahl
edit: Ich bin heute mal wieder schnell...

Zitat:

Original von Reliefpfeiler
Was ich jetzt nicht verstehe: Was genau bringt die bernoulische ungleichung?

Es gilt $\begin{eqnarray*} (1+a)^n\geq1+na \end{eqnarray*}$ (wobei $\begin{eqnarray*} a\geq-1 \end{eqnarray*}$ sein muss). Du bekommst damit die lästige Potenz weg.

Zitat:

Original von Reliefpfeiler
und warum ist das ziel erreicht wenn auf der rechten seite 1 rauskommt? oO

Wenn $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}>1 \end{eqnarray*}$ , dann ist für positive $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} a_{n+1}>a_n \end{eqnarray*}$ , und genau das war ja zu zeigen.

01.11.2006, 11:22

Reliefpfeiler

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eben hats bei mir klick gemacht xD
ich danke euch für die schnellen antworten =)

12.06.2007, 12:52

ddevil

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Ich wollte keinen extra Thread aufmachen, da sich meine Aufgabe auf diesen Thread bezieht. Beweisen soll ich Folgendes: die Folge $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n})^{n+1} \end{eqnarray*}$ ist monoton fallend.
Als Tipp haben wir den Beweis für "die Folge $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n})^{n} \end{eqnarray*}$ ist monoton steigend" erhalten. Ich habe schon Stunden gerechnet, aber ich habe noch keine vernünftige Lösung gefunden. Ich gebe mal ein Zischenergebnis an:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n-1}}=...=({\frac{n+1}{n}})^{n+1}( \frac{n-1}{n})^n=...=\frac{n+1}{n}(1+(- \frac{1}{n^2}))^n \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle wurde bei der Folge $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n})^{n} \end{eqnarray*}$ die Bernoulli Ungleichung angewendet, sodass am Ende $\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n-1}}>1 \end{eqnarray*}$ herauskam. Aber hier brauche ich $\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n-1}}<1 \end{eqnarray*}$ , somit bringt hier die Bernoulli Ungleichung nicht direkt was.
Hat irgendjemand einen Tipp, wie man hier weitermachen könnte. Wäre für jede Kleinigkeit dankbar.

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12.06.2007, 13:10

klarsoweit

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Zitat:

Original von ddevil
Aber hier brauche ich $\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n-1}}<1 \end{eqnarray*}$ , somit bringt hier die Bernoulli Ungleichung nicht direkt was.

Wie wäre es, wenn du stattdessen dieses zeigst:
$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n-1}}{a_n} > 1 \end{eqnarray*}$ ?

Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.06.2007, 13:20

ddevil

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Hm, ich sehe jetzt leider nicht was das bringen soll, ich habe dann:
$\begin{eqnarray*} \frac {a_{n-1}}{a_n}=(\frac {n}{n+1})^{n+1}(\frac {n}{n-1})^n= \frac {n}{n+1}(\frac {n^2}{n^2-1})^n \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \frac{n} {n+1} \end{eqnarray*}$ ist kleiner 1, $\begin{eqnarray*} (\frac {n^2}{n^2-1})^n \end{eqnarray*}$ ist größer 1. Die Bernoulli Ungleichung kann ich auch nicht anwenden. Ich bitte um weitere Hinweise.

12.06.2007, 13:35

klarsoweit

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Besser:
$\begin{eqnarray*} \frac {a_{n-1}}{a_n} = (\frac {n}{n+1})^{n+1} \cdot (\frac {n}{n-1})^n = \frac{n-1}{n} \cdot (\frac {n}{n+1})^{n+1} \cdot (\frac {n}{n-1})^{n+1} = \frac{n-1}{n} \cdot (\frac {n^2}{n^2-1})^{n+1} \end{eqnarray*}$

Nun Bernoulli anwenden.

12.06.2007, 13:49

ddevil

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Anscheinend stehe ich auf dem Schlauch, wie soll ich für $\begin{eqnarray*} (\frac%20{n^2}{n^2-1})^{n+1} \end{eqnarray*}$ die Bernoulli Ungelichung anwenden, die lautet ja $\begin{eqnarray*} (1+x)^n \geq 1+nx \end{eqnarray*}$ für x $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ -1 und n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ . Wie soll ich aus $\begin{eqnarray*} \frac%20{n^2}{n^2-1} \end{eqnarray*}$ ein 1+x bekommen?

12.06.2007, 13:59

klarsoweit

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Heidinei.

unglücklich

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{n^2-1} = \frac{n^2-1+1}{n^2-1} = 1 + \frac{1}{n^2-1} \end{eqnarray*}$

12.06.2007, 14:01

ddevil

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Achso, Trick 17 mit Anschleichen, ich probiers später aus und melde dann hoffentlich mein Erfolgserlebnis.

12.06.2007, 14:17

klarsoweit

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Nun ja, man kann es auch mit der Brechstange versuchen, sprich: wenn man eine "1 +" braucht, dann schreibt man das eben hin:
$\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{n^2-1} = 1 + \frac{n^2}{n^2-1} - 1 = 1 + ... \end{eqnarray*}$

12.06.2007, 20:53

ddevil

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Beh: $\begin{eqnarray*} (1+\frac {1}{n})^{n+1} \end{eqnarray*}$ ist eine monoton fallende Folge.

Bew: Z.z. $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n-1}}{a_n}\geq 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq2 \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} n\geq2 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n-1}}{a_n} = \frac {(1+\frac{1} {n-1})^n} {(1+\frac {1}{n})^{n+1}}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(\frac%20{n}{n-1})^n\cdot(\frac%20{n}{n+1})^{n+1}=\frac{n-1}{n}\cdot(\frac{n}{n-1})^{n+1}\cdot(\frac{n}{n+1})^{n+1}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{n-1}{n}\cdot(\frac{n^2}{n^2-1})^{n+1}=\frac{n-1}{n}\cdot(\frac{n^2-1+1}{n^2-1})^{n+1}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{n-1}{n}\cdot(1+\frac{1}{n^2-1})^{n+1}\geq \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \frac{n-1}{n}\cdot(1+\frac {1}{n+1}\frac{1}{n^2-1})= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{n-1}{n}\cdot(1+\frac {1} {n-1})=\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n}{n-1}=1 \end{eqnarray*}$

*: Bernoulli Ungleichung

13.06.2007, 08:33

klarsoweit

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Zitat:

Original von ddevil
$\begin{eqnarray*} =\frac{n-1}{n}\cdot(1+(n-1)) \end{eqnarray*}$

Richtig bis zum oben zitierten Punkt.

13.06.2007, 11:47

ddevil

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Stimmt, da hatte sich noch ein kleiner Fehler eingeschlichen, das ist jetzt ausbessert.

13.06.2007, 13:12

mercany

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Zitat:

Original von ddevil
Stimmt, da hatte sich noch ein kleiner Fehler eingeschlichen, das ist jetzt ausbessert.

Das nächste mal bitte den alten Post mit Fehler so lassen und für die Verbesserung einen neuen Post erstellen.

Gruß, mercany

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