minimale Varianz berechnen

07.06.2010, 07:49

anastasy

minimale Varianz berechnen

Hallo!

Ich möchte eine Anlagestrategie mit minimaler Varianz berechnen, kenne aber keine Formel dazu!?
Dazu habe ich zwei Aktien A und B, mit je 10% Rendite, in die ich mein Vermögen investieren soll.
Die Standardabweichung zum Wert der A ist 0,08 , von Aktie B 0,04. Der Korrelationskoeffizient r = -0,75.

Wie rechne ich jetzt weiter?
Anastasia

07.06.2010, 09:41

Huggy

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RE: minimale Varianz berechnen
Sind X und Y Zufallsgrößen mit den Standardabweichungen $\begin{eqnarray*} \sigma_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma_y \end{eqnarray*}$ und Korrelationskoeffizient r und ist Z = X + Y, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \sigma_z^2=\sigma_x^2+\sigma_y^2+2r\sigma_x\sigma_y \end{eqnarray*}$

07.06.2010, 11:17

anastasy

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RE: minimale Varianz berechnen
dann habe ich die "Gesamtstandardabweichung" Wurzel (0,0032). Inwieweit sagt das etwas ueber die strategie mit der minimalen Varianz aus?
Ist die Var(X+Y) = 0,0032 ? Und dann?

07.06.2010, 11:31

Huggy

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RE: minimale Varianz berechnen
Das ist die Basisformel. Wenn du ein gegebenes Kapital auf zwei Aktien aufteilst, wobei eine den Anteil $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und die andere $\begin{eqnarray*} 1-\alpha \end{eqnarray*}$ bekommt und Z jetzt die entsprechend gewichtete Summe ist

$\begin{eqnarray*} Z=\alpha X +(1-\alpha) Y \end{eqnarray*}$

führt das zu

$\begin{eqnarray*} \sigma_z^2(\alpha)=\alpha^2\sigma_x^2+(1-\alpha)^2\sigma_y^2+2\alpha(1-\alpha)r\sigma_x\sigma_y \end{eqnarray*}$

Jetzt sollte es kein Problem sein, das Minimum dieser Funktion zu bestimmen.

Edit: Fehlenden Faktor 2 ergänzt.

07.06.2010, 12:32

anastasy

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RE: minimale Varianz berechnen
o je....ableitungen

also ich habe 0,0032 = 2a*0,0064+2(1-a)*0,0016+(1-a)(-0,75)*0,0064*0,0016 weiss aber nicht,ob ich die Ableitung korrekt gebildet habe?!

Anastasia

07.06.2010, 12:42

mYthos

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Nein, nicht korrekt. Ableitungen nach a:

$\begin{eqnarray*} (1 - a)^2 \end{eqnarray*}$ .. Kettenregel, innere Ableitung ist -1

$\begin{eqnarray*} a(1 - a) \end{eqnarray*}$ .. Produktregel oder ausmultiplizieren!

mY+

07.06.2010, 12:47

Huggy

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Bitte auch mein Edit beachten.

07.06.2010, 13:19

anastasy

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Also
0= 0,0128a-0,0032+0,0032a-0,0048+0,0096a.
mit a= 0,3125 ist das okay? es gibt so viele stellen zum verrechnen...
allerdings haette ich dann meine errechnete Standardabweichung Z hoch 2 = 0,0032 nicht verwendet....??

07.06.2010, 13:55

Huggy

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Zitat:

Original von anastasy
Also
0= 0,0128a-0,0032+0,0032a-0,0048+0,0096a.
mit a= 0,3125 ist das okay? es gibt so viele stellen zum verrechnen...

Ich habe a = ca. 0,27 heraus.
Hast du den Faktor 2 beachtet, den ich ich zuerst in der zweiten Formel vergessen hatte.
Ich hatte keine Lust, deine einzelnen Zahlen nachzurechnen. Die Sache wird übersichtlicher, wenn du zuerst a mit den Standamdarabweichungen als Variablen berechnest. Dann kannst du die Endformel auch für beliebige Standardabweichungen benutzen.

Zitat:

allerdings haette ich dann meine errechnete Standardabweichung Z hoch 2 = 0,0032 nicht verwendet....??

Wird nicht benötigt.
Die erste Formel diente nur zur Herleitung der zweiten Formel.

07.06.2010, 14:52

anastasy

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vielen dank für die hilfe an euch alle!

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