Calyley Transformierte ?????

01.11.2006, 12:06

murf

Calyley Transformierte ?????

Hi, ich studiere jetzt seit 3 Wochen Physik und nachdem ich den ersten Übungszettel noch komplett lösen konnte, den zweiten immerhin noch zu 70 %... steh ich nun vorm dritten und schaff keine 10 %
Das is echt zum Kotzen.
In der Schule war ich immer recht gut in Mathe, aber ich komm irgendwie mit dieser mathematischen Sprache an der Uni nich klar.
Oftmals wird auch viel verlangt, was auch noch gar nich so richtig besporochen wurde. So zum Beispiel bei dieser Aufgabe:

Betrachte die Cayley Transformierte:
f: C \ {-i} --> C

$\begin{eqnarray*} f(z)= \frac{z-i}{z+i} \end{eqnarray*}$

Zeige, dass f die obere Halbebene H+ = {z€C | Im(z) > 0} auf die Einheitskreisscheibe
B(0) = {z€C | |z| < 1 } Teilmende von R³abbildet.

Wie soll ich denn sowas beweisen? Und vor allem - Wofür muss man sowas als Physiker können?

Ich fänds echt nett, wenn ihr mir n bisschen helfen könntet.

Hab bereits versucht z = a + ib zu nennen und einfach mal f(z) zu berechnen. Dann wollte ich zeigen, dass |f(z)| < 1 ist, hat aber irgendwie nich so ganz funktioniert....

01.11.2006, 12:08

murf

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das Teilmenge von R³gehört da nich zu, sry

01.11.2006, 14:13

irre.flexiv

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Du zeigst einfach folgendes

$\begin{eqnarray*} z\in H^+ ~\Rightarrow ~ f(z) \in B(0) \end{eqnarray*}$

Das ist formal für : Die obere Halbebene wird unter f auf den Einheitskreis abgebildet.

Wofür man das braucht? Keine Ahnung ^^ vielleicht meldet sich ja noch ein Physiker, oder du fragst mal im Physikerbord.

01.11.2006, 14:23

murf

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und wie genau zeige ich das????

gibt es da irgendwie ne Standardmethode??

01.11.2006, 14:27

irre.flexiv

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Du wendest einfach die Definitionen an.

Nimm dir ein $\begin{eqnarray*} z \in H^+ \end{eqnarray*}$ . Wie sieht so ein $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ wohl aus? Richtig, es hat die Form $\begin{eqnarray*} z = a+bi \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} Im(z) = b > 0 \end{eqnarray*}$ =)

Wie sieht das Bild von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ aus? Einfach einsetzen und ausrechnen.

Was muss jetzt erfüllt sein damit $\begin{eqnarray*} f(z) \in B(0) \end{eqnarray*}$ liegt?

01.11.2006, 14:55

murf

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also
$\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{a+(b-1)i}{a+(b+1)i} \end{eqnarray*}$
is ja soweit klar.
das b>0 ist, war mir auch klar.

aber wie zeig ich jetzt, dass f(z) € B(0) ist ???
Ich müsste ja jetzt eigentlich zeigen, dass der Betrag von f(z) < 0 ist, oder ???

01.11.2006, 14:57

Mazze

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stelle einfach den Bruch

$\begin{eqnarray*} \frac{z-i}{z+i} \end{eqnarray*}$

als a + bi dar, dann steht es schon da.

Tip: Erweitere den Bruch mit dem Konjugierten des Nenners.

Zitat:

Ich müsste ja jetzt eigentlich zeigen, dass der Betrag von f(z) < 0 ist, oder ???

Nein, wie sieht die Menge B(0) aus?

01.11.2006, 15:15

irre.flexiv

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War bestimmt nur ein Tipfehler, zu zeigen ist |f(z)| < 1

Edit: Um das zu lösen muss man halt wissen wie man zwei komplexe Zahlen dividiert. Stichwort: Erweitern.

01.11.2006, 15:34

murf

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ok, hab also jetzt $\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{a+(b-1)i}{a+(b+1)i} \end{eqnarray*}$ als f(z).

jetzt erweiter ich mit dem konjugiert komplexen des Nenners usw... bis ich dann auf $\begin{eqnarray*} f(z)= \frac{a²+b²-1}{a²+b²+1} + \frac{-2a}{a²+b²+1}i \end{eqnarray*}$ komme.

Den Betrag kann ich ja jetzt ausrechnen, indem ich die wurzel aus der Summe von Re(z)² und Im(z)² berechne. oder????

01.11.2006, 15:42

murf

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aber das scheint mir irgendwie nich zu stimmen, komm nachher bei der Rechnung nich weiter...

01.11.2006, 15:44

therisen

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Im Nenner muss doch $\begin{eqnarray*} a^2+(b+1)^2 \end{eqnarray*}$ stehen.

01.11.2006, 16:02

murf

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ok, hab das mit dem Nenner korrigiert....

hab jetzt den Betrag von f(z) < 1 gesetzt und umgeformt.

Ich komme nachher auf die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^4+2a^2b^2+b^4+2a^2-2b^2+1} < a^2+b^2+2b+1 \end{eqnarray*}$

Hier seh ich jetzt noch ne binomische Formel unter der Wurzel, aber die bringt mich ja auch nich weiter....

Ist es bis dahin überhaupt richtig?? und wenn ja, wie gehts weiter??

Sry wenn ich euch nerve, aber ich komm echt nich weiter

02.11.2006, 16:36

irre.flexiv

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Ja das ist richtig. Hinweis : $\begin{eqnarray*} 0 \leq \sqrt{a} < 1 ~\Rightarrow ~ a < 1 \end{eqnarray*}$

02.11.2006, 18:18

murf

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hab jetzt einfach so lang rumgeformt bis ich einen term da stehen hatte

Term > 0

hab den genauen Ausdruck gerad nich zur Hand
der Term konnte niemals negativ werden, aufgrund der vorraussetzung, dass b > 0 ist. da stand noch was von a², aber das is ja auch immer positiv...

Müsste reichen ;D

vielen Dank nochmal

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